Cónicas · EvAU Madrid · Modelo 2025-26 · Ejercicio 1.2

Parábola: impacto de un proyectil (EvAU)

Enunciado

Se lanza un proyectil desde el punto A con trayectoria parabólica tangente a la recta r. Si la altura máxima que alcanza el objeto viene dada por la recta s, determinar el impacto sobre la recta t.

Resolución paso a paso

1. Punto R: corte de r con s. Prolonga r hasta que corte a s y marca el punto R.
2. Punto S de la directriz. Con escuadra y cartabón, traza por R la perpendicular a r y por A la perpendicular a s (la dirección del eje). Se cortan en S.
3. Foco F. Con centro en R y radio RS, traza la circunferencia: corta a la perpendicular por R, al otro lado de r, en el foco F.
4. Directriz y eje. Por S traza la paralela a s: es la directriz d. Por F traza la perpendicular a s: es el eje de la parábola.
5. Simétrico G del foco respecto de t. Traza por F la perpendicular a t. Con centro en su pie H y radio HF, obtén al otro lado de t el punto G.
6. Centro radical CR. Prolonga la recta FG hasta que corte a la directriz d: ese punto es el centro radical CR.
7. Circunferencia auxiliar por F y G. Traza una circunferencia cualquiera que pase por F y G: su centro K está en t (t es la mediatriz de FG).
8. Punto medio de CRK. Une CR con el centro K y halla el punto medio M de CRK con su mediatriz.
9. Puntos de tangencia. Con centro en M y radio MK, traza un arco que corte a la circunferencia dada en T₁ y T₂.
10. Trazar las tangentes. Une CR con T₁ y con T₂: son las dos rectas tangentes.
11. Punto de tangencia T en la directriz. Con centro en CR y radio CR-P, traza un arco que corte a la directriz d en T.
12. Punto de impacto I. Traza por T la perpendicular a la directriz; donde corta a t está el punto de impacto I.
13. Comprobación: la trayectoria. Si quieres, dibuja la parábola de foco F y directriz d con la plantilla de curvas: sale de A tangente a r, toca s en el vértice y pasa por I.

Resumen del método

Con las dos tangentes (r en A y s en el vértice) se halla el foco: R = r ∩ s es su proyección sobre r y su simétrico S está en la directriz. El impacto se construye por potencia: circunferencias que pasan por F y por su simétrico G respecto de t y son tangentes a la directriz, con el centro radical CR.

Conceptos

• Proyección del foco sobre una tangente: está en la tangente en el vértice
• Simétrico del foco respecto de una tangente: está en la directriz
• Intersección de recta y parábola por potencia (centro radical)

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