Trazados fundamentales

Arco capaz de un segmento

Enunciado

Construye el arco capaz de 60° del segmento AB de 60 mm.

Resolución paso a paso

  1. Trazar la mediatriz. Pincha el compás en A con una abertura mayor que la mitad de AB y traza un arco a cada lado del segmento. Sin cambiar la abertura, pincha en B y traza otro arco que corte a los anteriores en 1 y 2. Une 1 y 2 con la regla. Esa recta es la mediatriz y corta a AB en su punto medio M. Por qué: Todos los puntos de la mediatriz están a la misma distancia de A y de B. Con el mismo radio desde ambos extremos encontraremos dos de esos puntos.
  2. Ángulo de 60° en A, por debajo. Por A, traza con el cartabón una recta t que forme 60° con AB, hacia el lado contrario al que buscas el arco. Por qué: Esa recta será la tangente al arco en A. El ángulo entre una tangente y una cuerda (ángulo semiinscrito) es igual al ángulo inscrito del otro lado de la cuerda, así que el arco que tenga a t como tangente verá AB con 60°.
  3. Trazar la perpendicular. Con centro en A, traza un arco que corte la recta t en 1 y 2. Desde 1 y desde 2, con una misma abertura (mayor que la mitad de 12), traza dos arcos que se corten en 3. Une A y 3: es la perpendicular a t por A. Por qué: 1 y 2 quedan a la misma distancia de A: la perpendicular buscada será la mediatriz de 12.
  4. Centro del arco. La perpendicular a t por A corta a la mediatriz de AB en el centro O. Por qué: El centro está en la mediatriz porque el arco pasa por A y por B, y en la perpendicular a t por A porque el radio es perpendicular a la tangente en el punto de contacto.
  5. Trazar el arco capaz. Con centro en O y radio OA, traza el arco de A a B por encima del segmento. Por qué: Desde cualquier punto de este arco el segmento AB se ve con 60°. Por debajo de AB hay otro arco simétrico: los dos juntos forman el lugar geométrico completo.
  6. Comprobación. Elige un punto P del arco y únelo con A y con B: el ángulo APB mide 60°. Por qué: Es la propiedad que define el arco capaz: todos los ángulos inscritos que abarcan la misma cuerda son iguales.

Resumen del método

El arco capaz de un ángulo α sobre AB es el lugar de los puntos desde los que AB se ve con ese ángulo. Su centro está en la mediatriz de AB y en la perpendicular, por A, a la recta que forma α con AB.

Conceptos

La teoría de este ejercicio

Ángulos en la circunferencia

El ángulo central (vértice en el centro) mide lo mismo que el arco que abarca. El inscrito (vértice en la circunferencia) mide la mitad del central que abarca el mismo arco, y el semiinscrito (formado por una cuerda y la tangente) también. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

Arco capaz

El arco capaz de un ángulo α sobre un segmento AB es el lugar geométrico de los puntos desde los que AB se ve con el ángulo α. Son dos arcos simétricos respecto de AB. El de 90° es la circunferencia de diámetro AB.

Más en la lección Ángulos en la circunferencia y arco capaz.

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