Aprende · Trazados fundamentales
El arco capaz es el lugar geométrico que más aparece en los problemas de triángulos y cuadriláteros de la PAU. Sale directamente de la relación entre el ángulo inscrito y el central.
Imagina que el segmento AB es una portería de fútbol y que tú estás en el campo. Desde tu sitio, los dos postes se ven separados por un cierto ángulo: es el ángulo con el que ves la portería. Si te acercas, la ves más grande y el ángulo aumenta. Si te alejas, la ves más pequeña y el ángulo disminuye.
Ahora, la pregunta de esta lección: ¿desde qué sitios del campo se ve la portería exactamente con 60°? No hay un solo sitio: hay muchos, y juntos dibujan un arco. Ese arco es el arco capaz. Antes de construirlo necesitamos una regla sencilla sobre los ángulos de una circunferencia.
Una cuerda es un segmento que une dos puntos de una circunferencia, como AB en el dibujo. Esa cuerda se puede mirar desde dos sitios distintos, y cada uno tiene su nombre:
Regla: el ángulo inscrito mide la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco.
Ángulo central e inscrito: Los dos abarcan el mismo arco AB. Si el central mide 80°, el inscrito mide 40°.
Traza el diámetro que pasa por P y llama D a su otro extremo. El triángulo OPA tiene dos lados iguales (OP y OA son radios), así que sus ángulos en P y en A son iguales. El ángulo AOD es exterior a ese triángulo y, por tanto, mide la suma de esos dos: el doble del ángulo en P. Lo mismo ocurre con B al otro lado del diámetro. Sumando las dos partes, el central es el doble del inscrito.
Fíjate en lo que dice la regla: el inscrito solo depende del arco que abarca, no de dónde esté P. Por eso, si mueves P por la circunferencia sin pasar al otro lado de la cuerda, el ángulo no cambia. Esta es la clave de toda la lección.
El mismo ángulo desde cualquier punto: P₁, P₂ y P₃ están en sitios muy distintos, pero todos ven la cuerda AB con 40°.
Si la cuerda AB es un diámetro, el ángulo central es de 180° (una línea recta). La mitad de 180° es 90°. Por tanto, cualquier punto de una circunferencia ve su diámetro con un ángulo recto. Lo usarás muchísimo, por ejemplo para trazar tangentes desde un punto.
Ángulo inscrito en una semicircunferencia: Desde cualquier punto de la circunferencia, el diámetro AB se ve con 90°.
Hay un tercer ángulo, y es el que hace posible la construcción. El ángulo semiinscrito tiene el vértice en la circunferencia, pero uno de sus lados es la cuerda y el otro es la tangente, la recta que solo toca a la circunferencia en ese punto. Mide lo mismo que el ángulo inscrito que abarca esa cuerda desde el lado contrario.
Ángulo semiinscrito: La tangente t y la cuerda AB forman 40°, los mismos que ve P desde el otro lado de la cuerda.
Ya podemos contestar a la pregunta de la portería. El arco capaz de un ángulo α sobre un segmento AB es el conjunto de todos los puntos desde los que AB se ve con el ángulo α. Es lo que se llama un lugar geométrico: una línea en la que todos los puntos cumplen la misma condición.
Como el segmento se puede mirar desde sus dos lados, el lugar completo son dos arcos simétricos, uno a cada lado de AB. Normalmente el ejercicio te dirá en cuál está lo que buscas, o tendrás dos soluciones.
Qué es el arco capaz: Vamos colocando puntos que ven AB con 60°: todos caen sobre un mismo arco.
Solo los puntos que están justo sobre el arco ven el segmento con ese ángulo. Igual que con la portería, un punto de dentro lo ve con un ángulo mayor y uno de fuera con un ángulo menor.
Dentro y fuera del arco: Dentro del arco se ve AB con más de 60°; fuera, con menos.
Dibujar un arco es fácil: solo necesitamos su centro. Y el centro lo encontramos cruzando dos rectas. Vamos a hacerlo con AB = 60 mm y un ángulo α = 60°, queriendo el arco por encima del segmento.
Arco capaz de 60° sobre un segmento de 60 mm: La construcción completa, y al final la comprobación: desde un punto P del arco, AB se ve con 60°.
Los pasos son siempre los mismos, pero el aspecto del arco cambia. Cuanto menor es el ángulo, mayor es el arco, porque hay que alejarse más para ver el segmento pequeño:
Cuanto menor es el ángulo, mayor es el arco: Los tres arcos pasan por A y por B, pero ven el segmento con 120°, 90° y 30°.
El arco capaz casi nunca se pide solo: es una herramienta para encontrar un punto. La idea es la de todos los lugares geométricos: si un punto debe cumplir dos condiciones, dibujas la línea de cada condición y el punto está donde se cortan.
Por ejemplo: construye un triángulo ABC del que conoces el lado BC = 60 mm, el ángulo opuesto en A de 60° y la altura sobre ese lado, de 40 mm. Dibuja BC y piensa qué sabes del vértice A:
Triángulo dados un lado, el ángulo opuesto y su altura: El vértice A sale del corte de sus dos lugares geométricos: el arco capaz y la paralela.
Fíjate en un detalle: el punto más alto de este arco está a unos 52 mm de BC. Por eso, con una altura de 40 mm hay solución, pero con una de 60 mm la paralela no llegaría a tocar el arco y ese triángulo no existiría. Saber dónde queda el arco te avisa de esas cosas antes de dibujar.
Un ángulo central mide 100°. ¿Cuánto mide un ángulo inscrito que abarca el mismo arco? 50°, la mitad del central.
¿Cuál es el arco capaz de 90° de un segmento AB de 8 cm? La circunferencia de diámetro AB: su centro es el punto medio de AB y su radio mide 4 cm.
Un punto está dentro del arco capaz de 50° de AB. ¿Ve el segmento con más o con menos de 50°? Con más de 50°: está más cerca del segmento, así que lo ve más grande.
Te piden un punto de una recta r desde el que AB se vea con 45°. ¿Cómo lo buscas? Dibujas el arco capaz de 45° de AB y miras dónde corta a r. Si lo corta en dos puntos hay dos soluciones, y conviene comprobar también el arco del otro lado de AB.
El ángulo central (vértice en el centro) mide lo mismo que el arco que abarca. El inscrito (vértice en la circunferencia) mide la mitad del central que abarca el mismo arco, y el semiinscrito (formado por una cuerda y la tangente) también. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
inscrito = central / 2
El arco capaz de un ángulo α sobre un segmento AB es el lugar geométrico de los puntos desde los que AB se ve con el ángulo α. Son dos arcos simétricos respecto de AB. El de 90° es la circunferencia de diámetro AB.
En el examen. Siempre que un dato sea un ángulo opuesto a un lado conocido, piensa en el arco capaz.