Sistema diédrico

Distancia de un punto a un plano

Enunciado

Halla la distancia del punto P al plano α dado por sus trazas.

Resolución paso a paso

  1. Perpendicular al plano por P. Por P' traza la perpendicular a α₁ y por P'' la perpendicular a α₂: son las proyecciones p' y p'' de la recta perpendicular al plano. Por qué: Una recta es perpendicular a un plano cuando sus proyecciones son perpendiculares a las trazas del mismo nombre.
  2. Plano auxiliar proyectante. Toma el plano vertical que contiene a p: su traza horizontal es p' y su traza vertical, la perpendicular a la LT por el punto Q donde p' la corta. Por qué: El punto donde la recta atraviesa α está en la intersección de α con cualquier plano que contenga a la recta. El proyectante es el más cómodo.
  3. Intersección de los dos planos. α₁ corta a p' en H' (con H'' en la LT) y α₂ corta a la traza vertical del auxiliar en V'' (con V' = Q). La recta HV es la intersección.
  4. Pie de la perpendicular. i'' corta a p'' en I''. Baja la línea de referencia hasta p': I'. I es el punto donde la perpendicular atraviesa el plano.
  5. Verdadera magnitud de PI. Gira I' alrededor de P' hasta la paralela a la LT (I'₁) y sube a la horizontal de I'': I''₁. P''I''₁ es la distancia. Por qué: La distancia de un punto a un plano es la longitud del segmento perpendicular PI, que hay que ver en verdadera magnitud.

Conceptos

La teoría de este ejercicio

Paralelismo y perpendicularidad

Dos rectas paralelas tienen sus proyecciones paralelas. Una recta es perpendicular a un plano si sus proyecciones son perpendiculares a las trazas del plano (r' ⊥ α₁ y r'' ⊥ α₂). Es la base para medir distancias de un punto a un plano o entre planos paralelos.

Intersecciones en diédrico

La recta común a dos planos se obtiene con dos de sus puntos: donde se cortan sus trazas horizontales y donde se cortan las verticales (si no, con un plano auxiliar). El punto donde una recta corta a un plano se halla con un plano auxiliar proyectante que contenga a la recta: la intersección de los dos planos corta a la recta en el punto buscado.

Más en la lección Paralelismo y perpendicularidad.

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