Tangencias

Circunferencias tangentes a dos rectas que pasan por un punto

Enunciado

Traza las circunferencias tangentes a las rectas r y s que pasan por el punto P.

Resolución paso a paso

  1. Trazar la bisectriz. Con centro en el vértice V, traza un arco que corte los dos lados del ángulo en 1 y 2. Con centro en 1 y después en 2, con la misma abertura, traza dos arcos que se corten en 3. Une V con 3: es la bisectriz, que divide el ángulo en dos iguales. Por qué: Así tenemos un punto en cada lado a la misma distancia del vértice.
  2. Una circunferencia auxiliar tangente a r y s. Toma un punto O' cualquiera de la bisectriz y traza la circunferencia de centro O' tangente a r y a s (radio: la perpendicular de O' a r). Por qué: Todas las circunferencias tangentes a r y a s son homotéticas desde V. Si una auxiliar se amplía o reduce desde V hasta pasar por P, sigue siendo tangente a las dos rectas.
  3. Recta VP. Une V con P: corta a la circunferencia auxiliar en P₁ y P₂, los puntos homólogos de P.
  4. Centros de las soluciones. Une O' con P₁ y con P₂. Por P, traza las paralelas a esos radios: cortan a la bisectriz en los centros O₁ y O₂. Por qué: En la homotecia, el radio O'P₁ se transforma en un radio paralelo que acaba en P.
  5. Las dos soluciones. Con centro en O₁ y en O₂, traza las circunferencias que pasan por P. Marca los puntos de tangencia con perpendiculares a r y a s.

Conceptos

La teoría de este ejercicio

Tangencias por homotecia

Todas las circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan son homotéticas desde el vértice. Para la que además pasa por un punto P, se dibuja una cualquiera tangente a las dos rectas y se amplía o reduce desde el vértice hasta que pase por P: la recta que une el vértice con P da los puntos homólogos, y las paralelas a los radios, los centros. Suele haber dos soluciones.

Homotecia

Una homotecia de centro O y razón k transforma cada punto A en A', alineado con O, de manera que OA' = k · OA (si k es negativa, A' queda al otro lado de O). Conserva los ángulos y la forma: las rectas homotéticas son paralelas. Basta con un punto y la razón; los demás salen con paralelas.

Problemas de Apolonio

Son los diez casos de circunferencia tangente a tres elementos elegidos entre puntos (P), rectas (R) y circunferencias (C): PPP, PPR, PRR, RRR, PPC, PRC, RRC, PCC, RCC y CCC. Se resuelven reduciéndolos: con lugares geométricos (mediatrices y bisectrices), con potencia y eje radical (PPR, PPC), con dilatación y con inversión.

Más en la lección Tangencias por homotecia.

Más ejercicios de tangencias

Aprende: todo el temario · Resuelve tu ejercicio con una foto