Aprende · Tangencias y enlaces
Cuando la circunferencia tiene que ser tangente a dos rectas y pasar por un punto, no basta con los lugares geométricos: se dibuja una solución de otro tamaño y se amplía desde el vértice.
Quieres una circunferencia tangente a dos rectas que pase por P. Hay muchísimas tangentes a las dos rectas, con el centro en la bisectriz, pero solo unas pocas pasan por P. No se sabe el radio, y no hay lugar geométrico directo. Entonces: haz una cualquiera y amplíala.
Imagina un proyector en el vértice V de las dos rectas. La circunferencia auxiliar, al alejar o acercar la pantalla, se ve más grande o más pequeña, pero siempre tangente a las rectas. Solo hay que elegir el tamaño para que pase por P.
Todas las circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan son homotéticas desde el vértice.
Tangentes a dos rectas por un punto: Dos puntos homólogos, dos paralelas y dos soluciones.
Porque la homotecia transforma cada recta en una paralela a ella. El radio O'P₁ se convierte en el radio de la solución O₁P, y por eso es paralelo.
Dos circunferencias cualesquiera siempre son homotéticas, con dos centros posibles. Son muy útiles porque por ellos pasan sus tangentes comunes.
Centros de homotecia de dos circunferencias: Los radios en el mismo sentido dan E. Los de sentido contrario, I.
Hay diez problemas de circunferencias tangentes a tres elementos, elegidos entre puntos, rectas y circunferencias. Se nombran con letras: PRR significa un punto y dos rectas, que es el de esta lección.
¿Por dónde pasan las tangentes interiores comunes de dos circunferencias? Por el centro de homotecia inversa.
¿En qué caso de Apolonio se usa la homotecia desde el vértice? En PRR.
¿Por qué la auxiliar se puede elegir como se quiera? Porque todas las tangentes a las dos rectas son homotéticas desde V.
Todas las circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan son homotéticas desde el vértice. Para la que además pasa por un punto P, se dibuja una cualquiera tangente a las dos rectas y se amplía o reduce desde el vértice hasta que pase por P: la recta que une el vértice con P da los puntos homólogos, y las paralelas a los radios, los centros. Suele haber dos soluciones.
Una homotecia de centro O y razón k transforma cada punto A en A', alineado con O, de manera que OA' = k · OA (si k es negativa, A' queda al otro lado de O). Conserva los ángulos y la forma: las rectas homotéticas son paralelas. Basta con un punto y la razón; los demás salen con paralelas.
OA' = k · OA
Son los diez casos de circunferencia tangente a tres elementos elegidos entre puntos (P), rectas (R) y circunferencias (C): PPP, PPR, PRR, RRR, PPC, PRC, RRC, PCC, RCC y CCC. Se resuelven reduciéndolos: con lugares geométricos (mediatrices y bisectrices), con potencia y eje radical (PPR, PPC), con dilatación y con inversión.