La hipérbola se parece a la elipse cambiando la suma por la diferencia. Tiene dos ramas que se acercan a sus asíntotas.
En la elipse, la suma de distancias a los focos es constante. Si cambias la suma por una resta, tienes una hipérbola. Tiene dos ramas separadas, porque el punto puede estar más cerca de F₁ o de F₂.
|PF₁ − PF₂| = 2a
c² = a² + b²
Mira: al revés que en la elipse, aquí c es el mayor. Es un error muy frecuente.
Es parecido a la elipse. Ahora, el punto N se elige fuera de los focos. Las dos distancias se diferencian justo en 2a.
Hipérbola por radios vectores: Dos ramas, acercándose a las asíntotas.
Son como unos raíles que guían la curva. Se hallan con una circunferencia de centro O y radio c. Las perpendiculares al eje por los vértices la cortan en cuatro puntos. Las rectas que unen esos puntos con O son las asíntotas.
Trazado de las asíntotas: Las diagonales del rectángulo 2a × 2b.
Si son perpendiculares, es una hipérbola equilátera, con a = b.
Tiene una propiedad curiosa: si trazas por un punto P una recta que corte a las asíntotas en M y N, el segmento PM es igual al que queda entre N y otro punto Q de la hipérbola. Con esto, se sacan todos los puntos que quieras.
Hipérbola con asíntotas y un punto: N₁Q₁ = PM₁ en cada secante.
En la elipse era la bisectriz exterior. En la hipérbola es la bisectriz interior de los radios vectores. Con centro en P y radio PF₂, corta PF₁ en F₂', y la tangente es la mediatriz de F₂F₂'.
Tangente y normal: La mediatriz de F₂F₂' pasa por P.
Las tres son secciones de un cono. Si el plano corta a todas las generatrices, sale una elipse. Si es paralelo a una, una parábola. Si es paralelo a dos, una hipérbola.
a = 30 y c = 50. ¿Cuánto vale b? 40.
2a = 40 y P está a 90 de F₁. ¿A qué distancia está de F₂, en la rama más cercana a F₂? A 50.
¿Qué bisectriz es la tangente? La interior de los radios vectores.
La hipérbola es el lugar de los puntos cuya diferencia de distancias a los dos focos es constante e igual al eje real 2a. Tiene dos ramas y dos asíntotas, las diagonales del rectángulo de lados 2a y 2b. Aquí c es mayor que a.
|PF₁ − PF₂| = 2a · c² = a² + b²
La elipse, la parábola y la hipérbola son las secciones de un cono de revolución por un plano que no pasa por el vértice: si el plano corta a todas las generatrices, elipse; si es paralelo a una, parábola; si es paralelo a dos, hipérbola. Todas se definen por sus focos y sus directrices, y en todas la tangente en un punto es bisectriz de los radios vectores.