Aprende · Geometría plana
Elipse, parábola e hipérbola: definición, trazado, tangentes e intersecciones.
La elipse es la cónica que más cae en la PAU. Casi todo sale de su definición (la suma de distancias a los focos es 2a) y de sus circunferencias principal y focales.
Ejercicios resueltos: Elipse por radios vectores, Elipse por afinidad (circunferencias concéntricas), Tangente y normal a la elipse en un punto, Ejes de la elipse dados dos diámetros conjugados (Rytz), Elipse dados los focos y un punto.
Las tangentes y los puntos de corte con una recta no se dibujan a ojo sobre la curva: se construyen con las circunferencias focales o la directriz.
En el examen. Nunca des como solución el corte de una recta con una cónica trazada a mano: constrúyelo.
Ejercicios resueltos: Tangentes a una elipse desde un punto exterior, Tangentes a la elipse paralelas a una dirección, Tangentes a la parábola desde un punto exterior, Tangente a la parábola paralela a una dirección, Tangentes a la hipérbola desde un punto exterior.
La parábola tiene un solo foco y una directriz. Su definición basta para construirla y para hallar sus tangentes.
Ejercicios resueltos: Parábola dados el foco y la directriz, Parábola: dónde cae un proyectil, Tangente y normal a la parábola en un punto, Foco y directriz de la parábola dados el vértice, el eje y un punto.
La hipérbola se parece a la elipse cambiando la suma por la diferencia. Tiene dos ramas que se acercan a sus asíntotas.
Ejercicios resueltos: Hipérbola por radios vectores, Tangente a la hipérbola en un punto, Asíntotas de la hipérbola, Hipérbola por puntos dadas las asíntotas y un punto.
La elipse, la hipérbola y la parábola son las secciones de un cono por un plano. Cada una se define por una propiedad de distancias: en la elipse la suma de distancias a los focos es constante, en la hipérbola lo es la diferencia y en la parábola el punto está a la misma distancia del foco que de la directriz.
De esas definiciones salen todas las construcciones: dibujar la curva por puntos, hallar sus focos y ejes, trazar tangentes desde un punto o paralelas a una dirección y hallar los cortes con una recta. Las circunferencias focal y principal son las herramientas que se repiten en casi todos los ejercicios.