Cónicas
Hipérbola por radios vectores
Enunciado
Dibuja la hipérbola de eje real A₁A₂ = 50 mm y distancia focal F₁F₂ = 80 mm, con sus asíntotas.
Resolución paso a paso
- Puntos con un punto N. Marca un punto N en el eje, más allá de F₂. Con centro en F₁ y radio A₁N, y con centro en F₂ y radio A₂N, traza arcos: se cortan en 1 y 1'. Intercambia los radios para tener 2 y 2' en la otra rama. Por qué: A₁N − A₂N = A₁A₂ = 2a: la diferencia de las distancias a los focos es siempre 2a, que es la definición de la hipérbola.
- Más puntos. Repite con otro punto N' más alejado: obtienes 3, 3', 4 y 4'. Por qué: Cuantos más puntos, mejor sale la curva. N tiene que estar más allá del foco para que los arcos se corten.
- Asíntotas. Con centro en O y radio OF₁, traza una circunferencia. La perpendicular al eje por A₂ la corta en D: la recta OD es una asíntota; su simétrica, la otra. Por qué: A₂D mide b, porque OD = c y OA₂ = a, y c² = a² + b². Las asíntotas son las diagonales del rectángulo de lados 2a y 2b.
- Trazar la hipérbola. Une los puntos de cada rama con la plantilla de curvas, pasando por los vértices A₁ y A₂ y acercándote a las asíntotas.
Conceptos
- |PF₁ − PF₂| = 2a
- c² = a² + b²
- Asíntotas
La teoría de este ejercicio
Hipérbola
La hipérbola es el lugar de los puntos cuya diferencia de distancias a los dos focos es constante e igual al eje real 2a. Tiene dos ramas y dos asíntotas, las diagonales del rectángulo de lados 2a y 2b. Aquí c es mayor que a.
Las cónicas
La elipse, la parábola y la hipérbola son las secciones de un cono de revolución por un plano que no pasa por el vértice: si el plano corta a todas las generatrices, elipse; si es paralelo a una, parábola; si es paralelo a dos, hipérbola. Todas se definen por sus focos y sus directrices, y en todas la tangente en un punto es bisectriz de los radios vectores.
Más en la lección Hipérbola.
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