Aprende · Curvas técnicas

Curvas cíclicas

Las curvas cíclicas son las trayectorias de un punto de una rueda. Se dibujan por puntos a partir de la rectificación de la circunferencia.

La idea: una mancha en la rueda

Pon una mancha de pintura en la rueda de una bici y empieza a rodar. ¿Qué dibuja? Sube, baja, toca el suelo y vuelve a subir. Esa trayectoria es una cicloide. Las curvas cíclicas son las que describe un punto de una rueda que rueda sin resbalar.

• Cicloide: rueda sobre una recta.
• Epicicloide: rueda por fuera de una circunferencia.
• Hipocicloide: rueda por dentro de una circunferencia.

Sin resbalar: la distancia recorrida es igual al arco que ha girado la rueda.

La cicloide

1. Rectifica la circunferencia. En una vuelta, la rueda avanza 2πr.
2. Divide ese segmento y la circunferencia en 12 partes iguales.
3. Por las divisiones del suelo, levanta perpendiculares hasta la paralela por O. Son las posiciones del centro.
4. Por las divisiones de la rueda, traza paralelas al suelo. Son las alturas del punto.
5. Con centro en cada posición y radio r, corta la paralela correspondiente.
6. Une los puntos.

Cicloide: La rueda avanza, y el punto sube y baja a la altura de su división.

Curiosidad: cuando el punto toca el suelo, se detiene un instante. Y cuando está arriba, va al doble de velocidad que la bici.

La epicicloide

Ahora la rueda de radio r gira por fuera de una circunferencia de radio R. El centro se mueve por una circunferencia de radio R + r. Y si R es tres veces r, en una vuelta completa de la rueda, se recorre solo un tercio de la base, es decir, 120°.

Epicicloide: Radio 30 + 10 para el centro. Con r = R/3, un arco ocupa 120°.

La hipocicloide

Por dentro, el centro recorre una circunferencia de radio R − r. Con R = 3r, la curva tiene tres puntas sobre la base.

Hipocicloide: Radio 45 − 15 para el centro, y tres puntas.

Las proporciones deciden la forma. Si R/r es un número entero, la curva se cierra con ese número de puntas, y por eso se usan en los engranajes.

Errores típicos

• No rectificar la circunferencia y llevar otra distancia.
• Usar paralelas al suelo mal numeradas. Cada división k tiene su centro k.
• Sumar o restar los radios al revés: por fuera, R + r; por dentro, R − r.
• Unir con rectas en lugar de una curva suave.

Comprueba si lo has entendido

Radio de la rueda 10 mm. ¿Cuánto avanza en una vuelta? Unos 62,8 mm.

¿Por qué circunferencia va el centro en una hipocicloide con R = 45 y r = 15? Por una de radio 30.

¿Cuántas puntas tiene una epicicloide con R = 4r? Cuatro.

Resumen para repasar

Curvas cíclicas

Son las curvas que describe un punto de una circunferencia que rueda sin deslizar: sobre una recta, la cicloide; por fuera de otra circunferencia, la epicicloide; por dentro, la hipocicloide. Se dibujan por puntos: se rectifica la circunferencia, se divide en las mismas partes que el recorrido y en cada posición del centro se lleva la altura del punto. La envolvente de la circunferencia es la curva que describe el extremo de un hilo que se desenrolla de ella.

Rectificación de la circunferencia

Rectificar es dibujar un segmento de la misma longitud que un arco. La circunferencia mide 2πr; con regla y compás solo se puede rectificar de forma aproximada. El método de Kochansky da la semicircunferencia con un error de menos de una diezmilésima del radio.

longitud = 2πr

1. Traza la tangente en un extremo A del diámetro vertical AB.
2. Por el centro, traza una recta a 30° del diámetro que corte a la tangente en C.
3. Lleva desde C tres radios sobre la tangente: punto D.
4. DB es la semicircunferencia rectificada.

Ejercicios resueltos

• Cicloide — Dibuja la cicloide que describe el punto P de una circunferencia de radio 12 mm que rueda sin deslizar sobre la recta r.
• Epicicloide — Dibuja un arco de la epicicloide que describe un punto P de una circunferencia de radio 10 mm que rueda sin deslizar por fuera de otra de…
• Hipocicloide — Dibuja la hipocicloide que describe un punto P de una circunferencia de radio 15 mm que rueda sin deslizar por el interior de otra de…