Aprende · Circunferencia, potencia y eje radical

Posiciones relativas y rectificación

Antes de las tangencias conviene tener claras las posiciones de una recta y de dos circunferencias, que dependen solo de distancias y radios, y cómo se convierte un arco en un segmento.

La idea: todo depende de una distancia

¿Una rueda toca el suelo? Depende de si su centro está más alto o más bajo que su radio. Las posiciones entre rectas y circunferencias no dependen del dibujo, sino de comparar distancias con radios. Y cuando entiendes esto, las tangencias son fáciles.

Recta y circunferencia

• Exterior: la distancia al centro es mayor que el radio. No se tocan.
• Tangente: la distancia es igual al radio. Se tocan en un punto.
• Secante: la distancia es menor que el radio. Se cortan en dos puntos.

Dos circunferencias

Sean R y r los radios, y d la distancia entre los centros.

• Exteriores: d > R + r.
• Tangentes exteriores: d = R + r.
• Secantes: R − r < d < R + r.
• Tangentes interiores: d = R − r.
• Interiores: d < R − r.
• Concéntricas: d = 0.

Tangentes exteriores: d = R + r. Tangentes interiores: d = R − r.

Los ángulos de la circunferencia

• Central: el vértice está en el centro. Mide lo mismo que su arco.
• Inscrito: el vértice está en la circunferencia. Mide la mitad del central con el mismo arco.
• Semiinscrito: lo forman una cuerda y la tangente. También mide la mitad.

Por eso, un ángulo inscrito en una semicircunferencia siempre es recto: el arco es de 180°, y la mitad es 90°. Lo usarás constantemente.

Rectificar: estirar un arco

Imagina que quieres saber cuánta cinta necesitas para rodear un bote. Rodeas el bote y la estiras. Rectificar es eso: dibujar un segmento con la longitud de un arco. La circunferencia mide 2πr, y como π no se puede construir exactamente, solo hay métodos aproximados, aunque son muy buenos.

longitud de la circunferencia = 2πr

La semicircunferencia, por el método de Kochansky

1. Traza el diámetro vertical AB y la tangente en A.
2. Por el centro O, traza una recta a 30° del diámetro. Corta a la tangente en C.
3. Desde C, lleva tres veces el radio sobre la tangente. Es D.
4. DB es la semicircunferencia.

Kochansky: DB ≈ πr, con un error de menos de una diezmilésima del radio.

Un arco menor

Para un arco pequeño, de hasta unos 60°, hay un método muy preciso:

1. Traza la tangente en A.
2. Sobre la prolongación de AO, más allá de O, lleva dos veces el radio: es C.
3. Une C con B y prolonga hasta la tangente: es B'.
4. AB' es la longitud del arco.

Rectificar un arco de 60°: AB' mide lo mismo que el arco.

Errores típicos

• Comparar con el diámetro en lugar del radio.
• Confundir central e inscrito.
• Aplicar el método del arco a un arco muy grande. Pierde precisión.
• Llevar los radios en el sentido contrario en Kochansky.

Comprueba si lo has entendido

R = 30, r = 10 y d = 40. ¿Qué posición tienen? Tangentes exteriores.

Central de 80°. ¿Cuánto mide el inscrito del mismo arco? 40°.

Radio 10. ¿Cuánto mide la semicircunferencia, aproximadamente? Unos 31,4.

Resumen para repasar

Posiciones relativas en la circunferencia

Una recta es exterior, tangente o secante a una circunferencia según su distancia al centro sea mayor, igual o menor que el radio. Dos circunferencias de radios R y r con los centros a distancia d son exteriores (d > R + r), tangentes exteriores (d = R + r), secantes, tangentes interiores (d = R − r) o interiores (d < R − r); si d = 0, concéntricas.

Ángulos en la circunferencia

El ángulo central (vértice en el centro) mide lo mismo que el arco que abarca. El inscrito (vértice en la circunferencia) mide la mitad del central que abarca el mismo arco, y el semiinscrito (formado por una cuerda y la tangente) también. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

inscrito = central / 2

Rectificación de la circunferencia

Rectificar es dibujar un segmento de la misma longitud que un arco. La circunferencia mide 2πr; con regla y compás solo se puede rectificar de forma aproximada. El método de Kochansky da la semicircunferencia con un error de menos de una diezmilésima del radio.

longitud = 2πr

1. Traza la tangente en un extremo A del diámetro vertical AB.
2. Por el centro, traza una recta a 30° del diámetro que corte a la tangente en C.
3. Lleva desde C tres radios sobre la tangente: punto D.
4. DB es la semicircunferencia rectificada.

Ejercicios resueltos

• Rectificación de la semicircunferencia (Kochansky) — Halla un segmento de la misma longitud que la semicircunferencia de radio 30 mm (método de Kochansky).
• Rectificación de un arco (método aproximado) — Rectifica el arco AB de la circunferencia de centro O y radio 40 mm (arco de 60°).