Circunferencias tangentes

Para una circunferencia tangente a varios elementos, cada tangencia da un lugar geométrico de su centro.

La idea: cada contacto dice dónde está el centro

Las tangencias parecen difíciles porque se piensa en la curva, cuando hay que pensar en el centro. Si te dicen que una moneda de radio 15 toca una regla, su centro está a 15 mm de la regla. Y ya tienes una pista: una paralela. Cada contacto da una pista, y el centro está donde se cruzan.

Dibuja primero los centros. Las circunferencias se trazan al final.

Las pistas

Tangente a una recta con radio R: el centro está en una paralela a distancia R.
Tangente a una recta en T: el centro está en la perpendicular por T.
Tangente a dos rectas: el centro está en su bisectriz.
Pasa por A y B: el centro está en la mediatriz de AB.
Tangente exterior a una circunferencia de radio r, con radio R: a distancia R + r de su centro.
Tangente interior: a distancia R − r.

Exteriores: d = R + r. Interiores: d = R − r.

Y no olvides los puntos de tangencia, que siempre se construyen: con una recta, es el pie de la perpendicular desde el centro; con una circunferencia, está en la recta que une los dos centros.

Radio conocido: el caso más fácil

Radio dado y dos rectas: Dos paralelas a 15 mm se cortan en el centro.

Radio dado, recta y circunferencia: Una paralela y una concéntrica de radio 20 + 15.

Radio dado y dos circunferencias: Dos concéntricas aumentadas.

Con un punto de tangencia conocido

Si te dan el punto T en la recta y otro punto P, el centro está en la perpendicular por T y en la mediatriz de TP.

Tangente en T y que pasa por P: Perpendicular y mediatriz.

Tangente a una recta en T y a una circunferencia

Aquí viene un truco muy usado, llamado dilatación. Como no se sabe el radio de la solución, se reduce el problema. Quitas el radio de la circunferencia dada a todo: la circunferencia se convierte en un punto (su centro), y la recta se desplaza esa misma distancia. Así solo queda hallar una circunferencia que pasa por un punto, y es fácil.

Tangente a r en T y a la circunferencia c: Dos soluciones: una exterior y otra con c dentro.

Tres rectas

Las tres rectas forman un triángulo. La solución interior es la inscrita, pero hay tres más, por fuera, llamadas exinscritas, cuyos centros se hallan con las bisectrices exteriores.

Tangentes a tres rectas: Cuatro soluciones. Una inscrita y tres exinscritas.

Dos paralelas

Entre dos paralelas, el radio ya lo sabes: la mitad de la separación. Y el centro está en la paralela media. Solo falta una pista más.

Tangentes a dos paralelas por un punto: La paralela media, cortada con un arco desde P.

Dos paralelas y una circunferencia: El radio es 20, así que el arco tiene radio 8 + 20.

Errores típicos

No marcar los puntos de tangencia. Se construyen, no se estiman.
Quedarse con una sola solución. Suele haber dos o más.
Sumar en vez de restar. Exterior es R + r, e interior es R − r.
Trazar la circunferencia antes de hallar el centro.

Comprueba si lo has entendido

Radio de la solución 10, circunferencia dada de radio 25, tangencia interior con la solución dentro. ¿A qué distancia está el centro? A 15 mm del centro de la dada.

¿Dónde está el punto de tangencia entre dos circunferencias? En la recta que une sus centros.

Dos paralelas separadas 50 mm. ¿Cuál es el radio de una circunferencia tangente a las dos? 25 mm.

Resumen para repasar

Propiedades de las tangencias

Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia. Si dos circunferencias son tangentes, el punto de tangencia está alineado con los dos centros, y la distancia entre centros es la suma de los radios (tangentes exteriores) o su diferencia (interiores). Todo punto de tangencia se construye con estas dos reglas, nunca a ojo.

d = R + r (exteriores) · d = R − r (interiores)

Lugares geométricos

Un lugar geométrico es el conjunto de puntos que cumplen una condición. Cuando un punto tiene que cumplir dos condiciones, se dibuja el lugar de cada una y el punto está donde se cortan. Es la herramienta con la que se resuelven casi todos los problemas de triángulos y tangencias.

Puntos a la misma distancia de A y B: la mediatriz de AB.
Puntos a la misma distancia de dos rectas: sus bisectrices.
Puntos a una distancia d de una recta: dos paralelas a distancia d.
Puntos a una distancia r de un punto: la circunferencia de radio r.
Puntos desde los que AB se ve con un ángulo α: el arco capaz.

Bisectriz de un ángulo

La bisectriz divide un ángulo en dos iguales. Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los dos lados del ángulo, por eso los centros de las circunferencias tangentes a dos rectas están en ella.

Con centro en el vértice, traza un arco que corte a los dos lados.
Con centro en esos dos puntos y el mismo radio, traza dos arcos que se corten.
Une el vértice con ese punto.

Ejercicios resueltos

Circunferencia tangente a una recta en un punto y que pasa por otro — Traza la circunferencia tangente a la recta r en el punto T y que pasa por el punto P.
Circunferencia tangente a otra en un punto y que pasa por un punto — Traza la circunferencia tangente a la circunferencia c en su punto T y que pasa por el punto P.
Circunferencias de radio dado tangentes a una recta y a una circunferencia — Traza las circunferencias de radio 15 mm tangentes exteriores a la circunferencia c y tangentes a la recta r.
Circunferencias tangentes a tres rectas: inscrita y exinscritas — Traza las circunferencias tangentes a las rectas r, s y t, que forman el triángulo ABC.
Circunferencias tangentes a una recta en un punto y a una circunferencia — Traza las circunferencias tangentes a la recta r en el punto T y tangentes a la circunferencia c.
Circunferencia tangente a dos rectas — Traza la circunferencia de radio 15 mm tangente a las rectas r y s.
Circunferencias tangentes a dos paralelas que pasan por un punto — Traza las circunferencias tangentes a las rectas paralelas r y s que pasan por el punto P.
Circunferencias de radio dado tangentes exteriores a dos circunferencias — Traza las circunferencias de radio 15 mm tangentes exteriores a las circunferencias c₁ (centro O₁, r = 20) y c₂ (centro O₂, r = 12).
Circunferencia inscrita en un sector circular — Inscribe una circunferencia en el sector circular de centro O, radio 60 mm y ángulo 60°.
Circunferencia tangente a una recta en un punto y a una circunferencia — Traza la circunferencia tangente a la recta r en su punto T y tangente exterior a la circunferencia c (centro O, radio 15 mm).
Circunferencia tangente a dos rectas paralelas y a una circunferencia — Traza las circunferencias tangentes a las rectas paralelas r y s y exteriores a la circunferencia c de centro O y radio 8 mm.