Aprende · Geometría plana
Rectas y circunferencias tangentes, problemas de Apolonio y enlaces.
Toda tangencia se apoya en dos propiedades: el radio es perpendicular a la tangente y los puntos de tangencia entre circunferencias están alineados con sus centros.
En el examen. Marca siempre los puntos de tangencia: en la PAU se valoran.
Ejercicios resueltos: Tangentes desde un punto exterior, Rectas tangentes a una circunferencia paralelas a una dirección, Tangentes exteriores comunes a dos circunferencias, Rectas tangentes interiores a dos circunferencias.
Para una circunferencia tangente a varios elementos, cada tangencia da un lugar geométrico de su centro.
Ejercicios resueltos: Circunferencia tangente a una recta en un punto y que pasa por otro, Circunferencia tangente a otra en un punto y que pasa por un punto, Circunferencias de radio dado tangentes a una recta y a una circunferencia, Circunferencias tangentes a tres rectas: inscrita y exinscritas, Circunferencias tangentes a una recta en un punto y a una circunferencia, Circunferencia tangente a dos rectas, Circunferencias tangentes a dos paralelas que pasan por un punto, Circunferencias de radio dado tangentes exteriores a dos circunferencias, Circunferencia inscrita en un sector circular, Circunferencia tangente a una recta en un punto y a una circunferencia, Circunferencia tangente a dos rectas paralelas y a una circunferencia.
Cuando la circunferencia tiene que ser tangente a dos rectas y pasar por un punto, no basta con los lugares geométricos: se dibuja una solución de otro tamaño y se amplía desde el vértice.
Ejercicios resueltos: Circunferencias tangentes a dos rectas que pasan por un punto, Centros de homotecia de dos circunferencias.
Los casos PPR y PPC de Apolonio se resuelven con el eje radical: todas las circunferencias que pasan por dos puntos tienen el mismo eje radical, la recta que los une.
Ejercicios resueltos: Circunferencias tangentes a una recta que pasan por dos puntos, Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia.
Los enlaces aparecen en el contorno de casi todas las piezas y en las curvas técnicas. El centro de cada arco se busca con lugares geométricos y los puntos de enlace se marcan siempre.
Ejercicios resueltos: Enlace de dos circunferencias con arcos, Enlace de dos rectas paralelas con dos arcos, Enlace de una recta y una circunferencia con un arco de radio dado, Enlace mixto de dos circunferencias.
Las tangencias son de lo que más cae en la PAU. Se basan en dos propiedades: el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente, y los centros de dos circunferencias tangentes están alineados con su punto de contacto. Con ellas se resuelven las rectas tangentes, las circunferencias de radio dado y los enlaces de curvas.
Los problemas de Apolonio (circunferencias tangentes a tres elementos, que pueden ser puntos, rectas o circunferencias) se resuelven reduciéndolos a casos más sencillos con la potencia, la dilatación o la inversión. En el examen hay que dibujar todas las soluciones que se piden y marcar siempre los centros y los puntos de tangencia.