Aprende · Tangencias y enlaces

Tangencias por potencia

Los casos PPR y PPC de Apolonio se resuelven con el eje radical: todas las circunferencias que pasan por dos puntos tienen el mismo eje radical, la recta que los une.

La idea: un punto que mide lo mismo con todas

Coge un punto P fuera de una circunferencia y traza una secante que la corte en A y B. Multiplica PA · PB. Si giras la secante, las distancias cambian, pero el producto no cambia. Y al girarla hasta que se vuelve tangente, A y B se juntan en T, y el producto es PT². A ese número se le llama potencia de P.

PA · PB = PT²

De aquí sale una idea clave para el problema. Si P está en la recta AB, y muchas circunferencias pasan por A y B, P tiene la misma potencia respecto a todas. Por tanto, las tangentes desde P a todas esas circunferencias miden lo mismo. Por eso a ese punto se le llama centro radical.

PPR: pasa por dos puntos y es tangente a una recta

La solución pasa por A y B, y toca a la recta r en T. Si AB corta a r en CR, entonces CR-T es tangente a la solución, y mide lo mismo que la tangente a cualquier otra circunferencia que pase por A y B. Y esa sí se puede dibujar.

  1. Prolonga AB hasta r. Es el centro radical CR.
  2. Dibuja una auxiliar por A y B, por ejemplo, la de diámetro AB.
  3. Halla la tangente desde CR a la auxiliar. Se traza con la circunferencia de diámetro CR-M.
  4. Lleva esa longitud sobre r, a ambos lados de CR. Son T₁ y T₂.
  5. Por T₁ y T₂, traza perpendiculares a r. Cortan a la mediatriz de AB en los centros.
  6. Traza las dos soluciones.

Caso PPR: La tangente a la auxiliar mide lo mismo que hasta T₁ y T₂.

¿Y si AB es paralela a r? Entonces no hay centro radical, pero es más fácil: el punto de tangencia está en la mediatriz de AB, y hay una sola solución.

El eje radical

El eje radical de dos circunferencias es la recta de puntos con la misma potencia respecto a ambas. Si se cortan, es la recta que une sus dos puntos de corte. Y siempre es perpendicular a la recta de los centros.

Tres circunferencias tienen tres ejes radicales, que se cortan en un mismo punto: el centro radical. Esto es lo que resuelve el caso siguiente.

PPC: pasa por dos puntos y es tangente a una circunferencia

  1. Traza la mediatriz de AB. Allí están los centros.
  2. Dibuja una auxiliar por A y B, que corte a c en E y F.
  3. La recta AB y la EF se cortan en el centro radical CR.
  4. Traza las tangentes desde CR a c. Son T₁ y T₂.
  5. Une C con T₁ y T₂. Cortan a la mediatriz en los centros.

Caso PPC: AB y EF dan el centro radical. Las tangentes a c dan los puntos de tangencia.

Errores típicos

Comprueba si lo has entendido

PA = 4 y PB = 9. ¿Cuánto mide la tangente desde P? 6, porque 4 · 9 = 36.

¿Cómo es el eje radical respecto a la recta de los centros? Perpendicular.

¿Por dónde pasa el eje radical de dos circunferencias secantes? Por sus dos puntos de corte.

Resumen para repasar

Potencia de un punto

La potencia de un punto P respecto de una circunferencia es el producto PA · PB de las distancias a los dos puntos donde cualquier secante por P corta a la circunferencia. Es la misma para todas las secantes y, si P es exterior, es igual al cuadrado de la tangente PT.

PA · PB = PT² = d² − r²

Eje radical

El eje radical de dos circunferencias es el lugar de los puntos con la misma potencia respecto de las dos. Es una recta perpendicular a la que une los centros. Si se cortan, es la recta de la cuerda común; si son tangentes, la tangente común; si no se cortan, se halla con una circunferencia auxiliar que corte a las dos.

  1. Traza una circunferencia auxiliar que corte a las dos.
  2. Une los puntos de corte de la auxiliar con cada una: las dos cuerdas se cortan en un punto del eje radical.
  3. Por ese punto, traza la perpendicular a la recta de los centros.

Problemas de Apolonio

Son los diez casos de circunferencia tangente a tres elementos elegidos entre puntos (P), rectas (R) y circunferencias (C): PPP, PPR, PRR, RRR, PPC, PRC, RRC, PCC, RCC y CCC. Se resuelven reduciéndolos: con lugares geométricos (mediatrices y bisectrices), con potencia y eje radical (PPR, PPC), con dilatación y con inversión.

Ejercicios resueltos