Aprende · Tangencias y enlaces

Tangencias por potencia

Los casos PPR y PPC de Apolonio se resuelven con el eje radical: todas las circunferencias que pasan por dos puntos tienen el mismo eje radical, la recta que los une.

Potencia de un punto

La potencia de un punto P respecto de una circunferencia es el producto PA · PB de las distancias a los dos puntos donde cualquier secante por P corta a la circunferencia. Es la misma para todas las secantes y, si P es exterior, es igual al cuadrado de la tangente PT.

PA · PB = PT² = d² − r²

Eje radical

El eje radical de dos circunferencias es el lugar de los puntos con la misma potencia respecto de las dos. Es una recta perpendicular a la que une los centros. Si se cortan, es la recta de la cuerda común; si son tangentes, la tangente común; si no se cortan, se halla con una circunferencia auxiliar que corte a las dos.

  1. Traza una circunferencia auxiliar que corte a las dos.
  2. Une los puntos de corte de la auxiliar con cada una: las dos cuerdas se cortan en un punto del eje radical.
  3. Por ese punto, traza la perpendicular a la recta de los centros.

Problemas de Apolonio

Son los diez casos de circunferencia tangente a tres elementos elegidos entre puntos (P), rectas (R) y circunferencias (C): PPP, PPR, PRR, RRR, PPC, PRC, RRC, PCC, RCC y CCC. Se resuelven reduciéndolos: con lugares geométricos (mediatrices y bisectrices), con potencia y eje radical (PPR, PPC), con dilatación y con inversión.

Ejercicios resueltos