Tangencias

Circunferencias tangentes a una recta que pasan por dos puntos

Enunciado

Traza las circunferencias que pasan por los puntos A y B y son tangentes a la recta r.

Resolución paso a paso

  1. Centro radical CR. Traza la recta AB y prolóngala hasta que corte a r en el punto CR. Por qué: Todas las circunferencias que pasan por A y B tienen la recta AB como eje radical común. Cualquier punto de AB tiene la misma potencia respecto de todas ellas: CR·A × CR·B. Como las soluciones también pasan por A y B, esa potencia es igual al cuadrado de la distancia de CR a su punto de tangencia con r.
  2. Trazar la mediatriz. Pincha el compás en A con una abertura mayor que la mitad de AB y traza un arco a cada lado del segmento. Sin cambiar la abertura, pincha en B y traza otro arco que corte a los anteriores en 1 y 2. Une 1 y 2 con la regla. Esa recta es la mediatriz y corta a AB en su punto medio M. Por qué: Todos los puntos de la mediatriz están a la misma distancia de A y de B. Con el mismo radio desde ambos extremos encontraremos dos de esos puntos.
  3. Circunferencia auxiliar por A y B. Con centro en el punto medio M de AB, traza la circunferencia que pasa por A y B. Por qué: Sirve cualquier circunferencia que pase por A y B: todas tienen la misma potencia desde CR. La de diámetro AB es la más cómoda porque su centro ya lo tienes.
  4. Tangente desde CR a la auxiliar. Halla el punto medio del segmento CR-M. Con centro en ese punto y radio hasta M, traza un arco: corta a la circunferencia auxiliar en el punto de tangencia T. Por qué: El ángulo CR-T-M tiene que ser recto (el radio es perpendicular a la tangente), así que T está en el arco capaz de 90° sobre CR-M, que es la circunferencia de diámetro CR-M. El segmento CR-T mide la raíz de la potencia.
  5. Llevar CR-T sobre r. Con centro en CR y radio CR-T, traza un arco que corte a r a ambos lados: son los puntos de tangencia T₁ y T₂. Por qué: Los puntos de tangencia de las soluciones con r están a una distancia de CR igual a la raíz de la potencia, que es justo CR-T.
  6. Centros O₁ y O₂. Traza por T₁ y por T₂ las perpendiculares a r. Donde cortan a la mediatriz de AB están los centros O₁ y O₂. Por qué: El centro de una circunferencia tangente a r está en la perpendicular a r por el punto de tangencia, y el de una que pasa por A y B está en su mediatriz.
  7. Las dos soluciones. Con centro en O₁ y radio O₁T₁, y con centro en O₂ y radio O₂T₂, traza las dos circunferencias. Las dos pasan por A y B y tocan a r. Por qué: El problema tiene dos soluciones porque hay dos puntos de r a la distancia CR-T de CR, uno a cada lado.

Conceptos

La teoría de este ejercicio

Potencia de un punto

La potencia de un punto P respecto de una circunferencia es el producto PA · PB de las distancias a los dos puntos donde cualquier secante por P corta a la circunferencia. Es la misma para todas las secantes y, si P es exterior, es igual al cuadrado de la tangente PT.

Eje radical

El eje radical de dos circunferencias es el lugar de los puntos con la misma potencia respecto de las dos. Es una recta perpendicular a la que une los centros. Si se cortan, es la recta de la cuerda común; si son tangentes, la tangente común; si no se cortan, se halla con una circunferencia auxiliar que corte a las dos.

Problemas de Apolonio

Son los diez casos de circunferencia tangente a tres elementos elegidos entre puntos (P), rectas (R) y circunferencias (C): PPP, PPR, PRR, RRR, PPC, PRC, RRC, PCC, RCC y CCC. Se resuelven reduciéndolos: con lugares geométricos (mediatrices y bisectrices), con potencia y eje radical (PPR, PPC), con dilatación y con inversión.

Más en la lección Tangencias por potencia.

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