Proporcionalidad

Inversión con un punto doble

Enunciado

Dada la inversión de centro O en la que B es un punto doble, halla la figura inversa del segmento AB (perpendicular a OB en B) y de la circunferencia c.

Resolución paso a paso

  1. Circunferencia de autoinversión. Como B es doble, la potencia es OB²: traza la circunferencia de centro O que pasa por B. Todos sus puntos son dobles.
  2. Inversa del segmento AB. La recta AB no pasa por O: su inversa es una circunferencia que pasa por O. Como AB es perpendicular a OB en el punto doble B, es la circunferencia de diámetro OB. El inverso de A está en la recta OA, donde esta corta a esa circunferencia (A').
  3. Inversa de la circunferencia c. c no pasa por O: su inversa es otra circunferencia. Une O con el centro de c: corta a c en P y Q, los extremos del diámetro alineado con O. Invierte P y Q: desde cada uno traza la tangente a la circunferencia de autoinversión y, por el punto de tangencia, la perpendicular a OP; su pie es el inverso. P'Q' es un diámetro de la circunferencia inversa.
  4. Inversos de P y Q. Une P con el centro O y halla el punto medio M de PO con su mediatriz.
  5. Puntos de tangencia. Con centro en M y radio MO, traza un arco que corte a la circunferencia dada en T₁ y T₂.
  6. Trazar las tangentes. Une P con T₁ y con T₂: son las dos rectas tangentes.
  7. Pie de la perpendicular desde la tangencia. Por el punto de tangencia traza la perpendicular a OP: su pie es P'.
  8. Inverso de Q. Une Q con el centro O y halla el punto medio M de QO con su mediatriz.
  9. Puntos de tangencia. Con centro en M y radio MO, traza un arco que corte a la circunferencia dada en T₁ y T₂.
  10. Trazar las tangentes. Une Q con T₁ y con T₂: son las dos rectas tangentes.
  11. Pie de la perpendicular. Igual que antes: la perpendicular a OQ por el punto de tangencia da Q'.
  12. Solución. Remarca el arco A'B de la circunferencia de diámetro OB (inversa del segmento AB) y la circunferencia de diámetro P'Q' (inversa de c).

Resumen del método

Punto doble → circunferencia de autoinversión de radio OB. Una recta que no pasa por O se invierte en una circunferencia por O (aquí la de diámetro OB); una circunferencia que no pasa por O, en otra circunferencia, invirtiendo los extremos de su diámetro alineado con O.

Conceptos

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