Circunferencia y potencia
Centro radical de tres circunferencias
Enunciado
Halla el centro radical de las circunferencias c₁, c₂ y c₃ y la circunferencia ortogonal a las tres.
Resolución paso a paso
- Circunferencia auxiliar. Traza una circunferencia auxiliar que corte a las tres (aquí, de centro K y radio 45 mm). Por qué: La cuerda común de dos circunferencias secantes es su eje radical. Con una auxiliar que corta a las tres se obtienen puntos de los ejes radicales que buscamos.
- Ejes radicales. Las cuerdas comunes con c₁ y con c₂ se cortan en R₁₂; por él, la perpendicular a O₁O₂ es el eje radical e₁₂. Igual con c₁ y c₃: R₁₃ y el eje e₁₃, perpendicular a O₁O₃. Por qué: R₁₂ tiene la misma potencia respecto de c₁, c₂ y la auxiliar. El eje radical de dos circunferencias es perpendicular a la recta de sus centros.
- Centro radical. Los ejes radicales se cortan en el centro radical CR, que tiene la misma potencia respecto de las tres circunferencias.
- Trazar las tangentes. Une CR con el centro O₁ y halla el punto medio M de CRO₁ con su mediatriz. Con centro en M y radio MO₁, traza un arco que corte a la circunferencia dada en T₁ y T₂. Une CR con T₁ y con T₂: son las dos rectas tangentes. Por qué: Necesitamos la circunferencia de diámetro CRO₁ (arco capaz de 90°).
- Circunferencia ortogonal. Con centro en CR y radio igual a la tangente CRT₁, traza la circunferencia: corta a las tres en ángulo recto. Por qué: La potencia de CR es el cuadrado de la longitud de la tangente, la misma para las tres circunferencias.
Conceptos
- Eje radical: lugar de los puntos con igual potencia respecto de dos circunferencias
- Centro radical: punto común de los tres ejes radicales
La teoría de este ejercicio
Potencia de un punto
La potencia de un punto P respecto de una circunferencia es el producto PA · PB de las distancias a los dos puntos donde cualquier secante por P corta a la circunferencia. Es la misma para todas las secantes y, si P es exterior, es igual al cuadrado de la tangente PT.
Eje radical
El eje radical de dos circunferencias es el lugar de los puntos con la misma potencia respecto de las dos. Es una recta perpendicular a la que une los centros. Si se cortan, es la recta de la cuerda común; si son tangentes, la tangente común; si no se cortan, se halla con una circunferencia auxiliar que corte a las dos.
Centro radical
Los ejes radicales de tres circunferencias, tomadas de dos en dos, se cortan en un punto: el centro radical, que tiene la misma potencia respecto de las tres. La circunferencia con centro en él y radio igual a la tangente a cualquiera de ellas las corta a las tres en ángulo recto.
Más en la lección Potencia, eje radical y centro radical.
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