Circunferencia y potencia

Eje radical de dos circunferencias exteriores

Enunciado

Halla el eje radical de las circunferencias de centros O₁ y O₂ (radios 20 y 28 mm, centros a 80 mm), que no se cortan.

Resolución paso a paso

  1. Recta de los centros. Une O₁ con O₂. Por qué: El eje radical de dos circunferencias es siempre perpendicular a la recta que une sus centros.
  2. Circunferencia auxiliar. Traza una circunferencia cualquiera que corte a las dos. Por qué: Como las dadas no se cortan, se busca un punto del eje radical con ayuda de una tercera circunferencia.
  3. Centro radical. Une los dos puntos de corte de la auxiliar con cada circunferencia: las dos cuerdas comunes se cortan en CR. Por qué: Cada cuerda común es el eje radical de la auxiliar con una de las dadas. Su punto de corte, CR, tiene la misma potencia respecto de las tres circunferencias, así que también está en el eje radical que buscamos.
  4. Eje radical. Por CR, traza la perpendicular a la recta de los centros: es el eje radical e. Por qué: Todos sus puntos tienen la misma potencia respecto de las dos circunferencias: desde ellos, las tangentes a una y a otra miden lo mismo.

Conceptos

La teoría de este ejercicio

Potencia de un punto

La potencia de un punto P respecto de una circunferencia es el producto PA · PB de las distancias a los dos puntos donde cualquier secante por P corta a la circunferencia. Es la misma para todas las secantes y, si P es exterior, es igual al cuadrado de la tangente PT.

Eje radical

El eje radical de dos circunferencias es el lugar de los puntos con la misma potencia respecto de las dos. Es una recta perpendicular a la que une los centros. Si se cortan, es la recta de la cuerda común; si son tangentes, la tangente común; si no se cortan, se halla con una circunferencia auxiliar que corte a las dos.

Centro radical

Los ejes radicales de tres circunferencias, tomadas de dos en dos, se cortan en un punto: el centro radical, que tiene la misma potencia respecto de las tres. La circunferencia con centro en él y radio igual a la tangente a cualquiera de ellas las corta a las tres en ángulo recto.

Más en la lección Potencia, eje radical y centro radical.

Más ejercicios de circunferencia y potencia

Aprende: todo el temario · Resuelve tu ejercicio con una foto