Aprende · Circunferencia, potencia y eje radical
La potencia relaciona un punto con una circunferencia a través de las secantes y tangentes que pasan por él. Con ella se resuelven las tangencias que no salen con lugares geométricos sencillos.
Coge un punto P fuera de una circunferencia y traza por él cualquier secante, que la corta en A y B. Multiplica PA · PB. Ahora gira la secante. Las distancias cambian, pero el producto da siempre lo mismo. Ese número es la potencia de P respecto a la circunferencia.
PA · PB = PT² = d² − r²
Con dos circunferencias, ¿qué puntos tienen la misma potencia para ambas? Todos forman una recta, el eje radical. Es siempre perpendicular a la recta de los centros.
Eje radical de dos circunferencias: Las cuerdas comunes se cortan en un punto con la misma potencia.
La primera cuerda es el eje radical de la auxiliar y la primera circunferencia. La segunda, de la auxiliar y la segunda. Su cruce tiene la misma potencia respecto a las tres y, por tanto, respecto a las dos dadas.
Con tres circunferencias, tomadas de dos en dos, hay tres ejes radicales, y se cortan en un mismo punto: el centro radical. Tiene la misma potencia respecto a las tres.
Centro radical y circunferencia ortogonal: Los ejes se cortan en CR, y la tangente da el radio de la ortogonal.
Dos circunferencias son ortogonales si se cortan en ángulo recto, es decir, si sus radios en el punto de corte son perpendiculares. Eso significa que el radio de una es tangente a la otra. Por eso: una circunferencia con centro en el eje radical y radio igual a la tangente es ortogonal a las dos.
Ortogonal a dos circunferencias: Con centro P en el eje radical y radio PT.
Sobre todo para los problemas de tangencias difíciles (PPR y PPC). Lo verás en detalle en la lección de tangencias por potencia.
d = 13, r = 5. ¿Cuál es la potencia de P? 144, y la tangente mide 12.
PA = 3 y PB = 12. ¿Cuánto mide PT? 6.
¿Cómo es el eje radical respecto a la recta de los centros? Perpendicular.
La potencia de un punto P respecto de una circunferencia es el producto PA · PB de las distancias a los dos puntos donde cualquier secante por P corta a la circunferencia. Es la misma para todas las secantes y, si P es exterior, es igual al cuadrado de la tangente PT.
PA · PB = PT² = d² − r²
El eje radical de dos circunferencias es el lugar de los puntos con la misma potencia respecto de las dos. Es una recta perpendicular a la que une los centros. Si se cortan, es la recta de la cuerda común; si son tangentes, la tangente común; si no se cortan, se halla con una circunferencia auxiliar que corte a las dos.
Los ejes radicales de tres circunferencias, tomadas de dos en dos, se cortan en un punto: el centro radical, que tiene la misma potencia respecto de las tres. La circunferencia con centro en él y radio igual a la tangente a cualquiera de ellas las corta a las tres en ángulo recto.