Proporcionalidad

Cuadrado equivalente a un rectángulo

Enunciado

Dibuja el cuadrado de la misma área que el rectángulo de 50 × 18 mm.

Resolución paso a paso

  1. Los dos lados seguidos. Con centro en B y radio BC, lleva el lado corto a continuación de AB: punto E. Por qué: El lado del cuadrado tiene que cumplir x² = 50 · 18: es la media proporcional de los dos lados, y para construirla se ponen seguidos.
  2. Semicircunferencia de diámetro AE. Halla el punto medio M de AE y traza la semicircunferencia por debajo.
  3. Trazar la perpendicular. Con centro en B, traza un arco que corte la recta lAB en 1 y 2. Desde 1 y desde 2, con una misma abertura (mayor que la mitad de 12), traza dos arcos que se corten en 3. Une B y 3: es la perpendicular a lAB por B. Por qué: 1 y 2 quedan a la misma distancia de B: la perpendicular buscada será la mediatriz de 12.
  4. Lado del cuadrado. La perpendicular por B corta a la semicircunferencia en F: BF es el lado del cuadrado. Por qué: Teorema de la altura: BF² = AB · BE = 50 · 18 = 900, BF = 30 mm. El cuadrado tiene 900 mm², igual que el rectángulo.
  5. El cuadrado. Construye el cuadrado de lado BF: lleva BF sobre la recta AB (punto H) y cierra con G.

Conceptos

La teoría de este ejercicio

Equivalencia de figuras

Dos figuras son equivalentes si tienen la misma área aunque tengan distinta forma. Un polígono se transforma en un triángulo equivalente quitando vértices con paralelas a sus diagonales; un triángulo, en un rectángulo de la mitad de altura; y un rectángulo, en un cuadrado cuyo lado es la media proporcional de sus lados (cuadratura).

Media proporcional

La media proporcional de a y b es el segmento x que cumple a / x = x / b, es decir, x = √(a·b). Se obtiene con el teorema de la altura o con el del cateto de un triángulo rectángulo inscrito en una semicircunferencia. También sirve para hallar raíces cuadradas.

Más en la lección Figuras equivalentes.

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