Proporcionalidad

Cuadrado equivalente a un triángulo

Enunciado

Construye un cuadrado con la misma área que el triángulo ABC.

Resolución paso a paso

1. Mitad de la altura. Traza la altura CH sobre AB y halla su punto medio N: HN es la mitad de la altura. Por qué: El área del triángulo es AB · (h/2): la de un rectángulo de lados AB y h/2. El lado del cuadrado equivalente es la media proporcional entre esos dos segmentos.
2. Los dos segmentos seguidos. Prolonga AB y lleva a continuación de B el segmento BE = HN.
3. Media proporcional. Traza la semicircunferencia de diámetro AE y, por B, la perpendicular a AE: la corta en F. BF es el lado del cuadrado. Por qué: Teorema de la altura: en el triángulo rectángulo AFE, BF² = AB · BE = AB · h/2, que es el área del triángulo.
4. El cuadrado. Construye el cuadrado de lado BF.

Conceptos

• Media proporcional: teorema de la altura
• Área del triángulo: base · altura / 2

La teoría de este ejercicio

Equivalencia de figuras

Dos figuras son equivalentes si tienen la misma área aunque tengan distinta forma. Un polígono se transforma en un triángulo equivalente quitando vértices con paralelas a sus diagonales; un triángulo, en un rectángulo de la mitad de altura; y un rectángulo, en un cuadrado cuyo lado es la media proporcional de sus lados (cuadratura).

Media proporcional

La media proporcional de a y b es el segmento x que cumple a / x = x / b, es decir, x = √(a·b). Se obtiene con el teorema de la altura o con el del cateto de un triángulo rectángulo inscrito en una semicircunferencia. También sirve para hallar raíces cuadradas.

Más en la lección Figuras equivalentes.

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