Aprende · Proporcionalidad, equivalencia y escalas

Figuras equivalentes

Transformar una figura en otra equivalente es conservar el área cambiando la forma. El caso típico es convertir un rectángulo o un polígono en un cuadrado.

La idea: cambiar la forma, no la superficie

Imagina un trozo de plastilina aplastado: lo puedes moldear en un cuadrado, en un rectángulo o en un triángulo, y siempre es la misma cantidad. Dos figuras equivalentes tienen la misma área, aunque sean distintas. Esta lección enseña a hacer esas transformaciones sin calcular áreas.

Equivalente: misma área, forma distinta.

De un rectángulo a un cuadrado

Es el caso clásico, la cuadratura. Un rectángulo de lados a y b tiene área a · b. El cuadrado debe tener lado x tal que x² = a · b. ¡Es la media proporcional!

  1. Lleva a y b seguidos sobre una recta.
  2. Traza la semicircunferencia de diámetro a + b.
  3. La perpendicular por el punto de unión da el lado x.
  4. Construye el cuadrado.

Cuadrado equivalente a un rectángulo: 50 × 18 = 900, así que el lado mide 30 mm.

De un triángulo a un cuadrado

El área de un triángulo es base por altura entre dos. Por tanto, equivale a un rectángulo de la misma base y la mitad de altura, y ya sabes cuadrar un rectángulo.

Cuadrado equivalente a un triángulo: Media proporcional entre la base y la mitad de la altura.

De un polígono a un triángulo

Este truco es muy elegante: dos triángulos con la misma base y la misma altura tienen la misma área. Si desplazas un vértice paralelamente a la base, la altura no cambia y el área tampoco. Así, se elimina un vértice cada vez.

  1. Traza la diagonal AC, que deja a B en un triángulo.
  2. Por B, traza la paralela a AC hasta la prolongación de DC. Es B'.
  3. El triángulo AB'C mide lo mismo que ABC. Por tanto, el polígono ha perdido un lado.

Triángulo equivalente a un cuadrilátero: B se desliza por la paralela a AC sin cambiar el área.

Si el polígono tiene más lados, repite el proceso hasta que quede un triángulo.

Otros casos

Errores típicos

Comprueba si lo has entendido

Un rectángulo de 16 × 25. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado equivalente? 20.

¿Por qué no cambia el área al mover un vértice paralelamente a la base? Porque se mantienen la base y la altura.

Triángulo de base 40 y altura 30. ¿Entre qué dos segmentos está la media proporcional? Entre 40 y 15.

Resumen para repasar

Equivalencia de figuras

Dos figuras son equivalentes si tienen la misma área aunque tengan distinta forma. Un polígono se transforma en un triángulo equivalente quitando vértices con paralelas a sus diagonales; un triángulo, en un rectángulo de la mitad de altura; y un rectángulo, en un cuadrado cuyo lado es la media proporcional de sus lados (cuadratura).

lado del cuadrado = √(a · b)

  1. Rectángulo de lados a y b → cuadrado: lleva a y b seguidos sobre una recta.
  2. Traza la semicircunferencia de diámetro a + b.
  3. La perpendicular por el punto de unión da el lado del cuadrado, √(a·b).

Media proporcional

La media proporcional de a y b es el segmento x que cumple a / x = x / b, es decir, x = √(a·b). Se obtiene con el teorema de la altura o con el del cateto de un triángulo rectángulo inscrito en una semicircunferencia. También sirve para hallar raíces cuadradas.

x² = a · b

  1. Teorema de la altura: lleva a y b seguidos sobre una recta y traza la semicircunferencia de diámetro a + b.
  2. La perpendicular por el punto donde se unen a y b corta a la semicircunferencia: esa altura es x.
  3. Teorema del cateto: lleva b sobre a desde el mismo extremo, semicircunferencia de diámetro a y perpendicular por el extremo de b: la cuerda desde el extremo común es x.

Ejercicios resueltos