Sistema diédrico

Distancia entre dos rectas paralelas

Enunciado

Halla la verdadera magnitud de la distancia entre las rectas paralelas r (por R(10, 10, 10) y S(70, 40, 50)) y s (por J(20, 45, 40)), con coordenadas (abscisa, alejamiento, cota). Dibuja las proyecciones del segmento distancia.

Resolución paso a paso

  1. Plano perpendicular a r por J. Por J traza una horizontal h (h₂ paralela a la LT, h₁ perpendicular a r₁) y una frontal f (f₁ paralela a la LT, f₂ perpendicular a r₂). Las dos definen el plano α perpendicular a r que pasa por J. Por qué: Una recta es perpendicular a un plano cuando sus proyecciones son perpendiculares a las de las horizontales y frontales del plano. La distancia entre dos paralelas se mide en un plano perpendicular a ambas.
  2. Intersección de r con el plano. Toma el plano proyectante vertical que contiene a r (su proyección horizontal es r₁). Corta a h en M (M₁ = r₁ ∩ h₁, M₂ en h₂ por la línea de referencia) y a f en N (N₁ = r₁ ∩ f₁, N₂ en f₂). La recta i = MN es la intersección de los dos planos: I₂ = i₂ ∩ r₂ y I₁ en r₁ por la línea de referencia. Por qué: Para cortar una recta con un plano se la envuelve en un plano proyectante auxiliar: la recta de intersección de los dos planos corta a la recta dada en el punto buscado.
  3. Verdadera magnitud por giro. Gira el segmento JI alrededor del eje vertical que pasa por J: con centro en J₁ lleva I₁ a la paralela a la LT por J₁ (I₁'). I₂ se mueve en horizontal hasta la línea de referencia de I₁' (I₂'). Por qué: Tras el giro el segmento es frontal y su proyección vertical está en verdadera magnitud; las cotas no cambian en un giro de eje vertical.
  4. Solución. Remarca las proyecciones del segmento distancia, I₁J₁ e I₂J₂, y su verdadera magnitud J₂I₂'. Por qué: IJ es perpendicular a las dos rectas: su longitud real es la distancia entre ellas.

Resumen del método

Plano perpendicular a r por J, intersección I de r con ese plano y verdadera magnitud de IJ por giro: la distancia es ≈ 29,9 mm.

Conceptos

La teoría de este ejercicio

Distancias

Toda distancia es la longitud de un segmento perpendicular: de un punto a un plano, perpendicular por el punto e intersección con el plano; de un punto a una recta o entre paralelas, en el plano que las contiene, abatiéndolo o con cambios de plano hasta ver la recta de punta. La longitud se mide al final en verdadera magnitud.

Paralelismo y perpendicularidad

Dos rectas paralelas tienen sus proyecciones paralelas. Una recta es perpendicular a un plano si sus proyecciones son perpendiculares a las trazas del plano (r' ⊥ α₁ y r'' ⊥ α₂). Es la base para medir distancias de un punto a un plano o entre planos paralelos.

Cambios de plano

Un cambio de plano sustituye uno de los planos de proyección por otro, con una nueva LT. Si se cambia el vertical, las proyecciones horizontales no cambian y las cotas se conservan. Se elige la nueva LT paralela o perpendicular a lo que interesa: paralela a r' para ver r en VM, perpendicular a la horizontal de un plano para verlo de canto.

Más en la lección Distancias.

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