Una distancia es siempre la longitud de un segmento perpendicular, medida en verdadera magnitud.
Si estás en mitad de un campo y quieres llegar a una valla, irás en línea recta y de frente, en perpendicular. Cualquier otro camino es más largo. Por eso, en geometría, toda distancia es la longitud de un segmento perpendicular.
Así, todos los ejercicios de distancias tienen la misma estructura en dos partes: primero construir ese segmento perpendicular, y después medirlo en verdadera magnitud.
Distancia = segmento perpendicular + verdadera magnitud.
Distancia de un punto a un plano: Perpendicular, punto de corte y verdadera magnitud del segmento PI.
La distancia entre dos planos paralelos se reduce a este caso: toma un punto de uno de ellos y mide su distancia al otro.
Si la recta es frontal, hay un atajo: como está en VM en alzado, el ángulo recto se ve tal cual. Basta con trazar por P'' la perpendicular a r''. Eso da el pie Q, y luego se mide PQ.
Distancia de un punto a una recta frontal: El ángulo recto se ve en alzado. La VM sale de un triángulo con la diferencia de alejamientos.
Si la recta está en otra posición, hay dos caminos. Uno es trazar por P el plano perpendicular a r, hallar dónde lo corta r, y medir. El otro es abatir el plano que forman P y r, porque en VM el ángulo recto se ve y la distancia se mide directamente.
Es el mismo problema, porque basta con tomar un punto J de una de ellas y medir su distancia a la otra. El método más seguro es:
Distancia entre dos rectas paralelas: El plano perpendicular corta a r en I. La distancia es unos 29,9 mm.
Otra opción elegante es hacer dos cambios de plano hasta ver las dos rectas como dos puntos: la distancia entre esos puntos es la solución.
Para medir un segmento rápidamente sin girar nada, dibuja un triángulo rectángulo: un cateto es su proyección horizontal y el otro, la diferencia de cotas de sus extremos. La hipotenusa es la VM. También vale con la proyección vertical y la diferencia de alejamientos.
¿Por qué toda distancia es un segmento perpendicular? Porque la perpendicular es el camino más corto.
A' y B' distan 40 mm, y las cotas son 10 y 40 mm. ¿Cuánto mide AB? 50 mm: es la hipotenusa de un triángulo de catetos 40 y 30.
¿Cómo se mide la distancia entre dos planos paralelos? Es la distancia de un punto de uno de ellos al otro plano.
Toda distancia es la longitud de un segmento perpendicular: de un punto a un plano, perpendicular por el punto e intersección con el plano; de un punto a una recta o entre paralelas, en el plano que las contiene, abatiéndolo o con cambios de plano hasta ver la recta de punta. La longitud se mide al final en verdadera magnitud.
Dos rectas paralelas tienen sus proyecciones paralelas. Una recta es perpendicular a un plano si sus proyecciones son perpendiculares a las trazas del plano (r' ⊥ α₁ y r'' ⊥ α₂). Es la base para medir distancias de un punto a un plano o entre planos paralelos.
Un cambio de plano sustituye uno de los planos de proyección por otro, con una nueva LT. Si se cambia el vertical, las proyecciones horizontales no cambian y las cotas se conservan. Se elige la nueva LT paralela o perpendicular a lo que interesa: paralela a r' para ver r en VM, perpendicular a la horizontal de un plano para verlo de canto.