Tangencias

Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia

Enunciado

Traza las circunferencias que pasan por los puntos A y B y son tangentes a la circunferencia c.

Resolución paso a paso

1. Mediatriz de AB. Traza la mediatriz de AB: los centros de todas las circunferencias que pasan por A y B están en ella.
2. Circunferencia auxiliar. Con centro en un punto cualquiera O' de la mediatriz, traza una circunferencia que pase por A y B y corte a c en E y F. Por qué: Es una de las infinitas circunferencias que pasan por A y B; solo sirve para encontrar el centro radical.
3. Centro radical. La recta AB (eje radical de la auxiliar y de las soluciones) y la recta EF (eje radical de la auxiliar y de c) se cortan en el centro radical CR. Por qué: CR tiene la misma potencia respecto de c, de la auxiliar y de cualquier circunferencia que pase por A y B: CRA · CRB = CRT², siendo T el punto de tangencia buscado.
4. Trazar las tangentes. Une CR con el centro C y halla el punto medio M de CRC con su mediatriz. Con centro en M y radio MC, traza un arco que corte a la circunferencia dada en T₁ y T₂. Une CR con T₁ y con T₂: son las dos rectas tangentes. Por qué: Necesitamos la circunferencia de diámetro CRC (arco capaz de 90°).
5. Centros de las soluciones. Une C con T₁ y con T₂: esas rectas cortan a la mediatriz de AB en los centros O₁ y O₂. Por qué: El centro de la solución está en la mediatriz de AB y alineado con C y con su punto de tangencia.
6. Las dos soluciones. Con centro en O₁ y en O₂, traza las circunferencias que pasan por A y B: son tangentes a c en T₁ y T₂.

Conceptos

• Eje radical y centro radical
• Potencia de un punto: PT² = PA · PB

La teoría de este ejercicio

Potencia de un punto

La potencia de un punto P respecto de una circunferencia es el producto PA · PB de las distancias a los dos puntos donde cualquier secante por P corta a la circunferencia. Es la misma para todas las secantes y, si P es exterior, es igual al cuadrado de la tangente PT.

Eje radical

El eje radical de dos circunferencias es el lugar de los puntos con la misma potencia respecto de las dos. Es una recta perpendicular a la que une los centros. Si se cortan, es la recta de la cuerda común; si son tangentes, la tangente común; si no se cortan, se halla con una circunferencia auxiliar que corte a las dos.

Problemas de Apolonio

Son los diez casos de circunferencia tangente a tres elementos elegidos entre puntos (P), rectas (R) y circunferencias (C): PPP, PPR, PRR, RRR, PPC, PRC, RRC, PCC, RCC y CCC. Se resuelven reduciéndolos: con lugares geométricos (mediatrices y bisectrices), con potencia y eje radical (PPR, PPC), con dilatación y con inversión.

Más en la lección Tangencias por potencia.

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