La elipse es la cónica que más cae en la PAU. Casi todo sale de su definición (la suma de distancias a los focos es 2a) y de sus circunferencias principal y focales.
Clava dos estacas en el suelo y ata una cuerda más larga que la distancia entre ellas. Con un palo tensa la cuerda y da una vuelta. La curva que dibujas es una elipse. Las dos estacas son los focos, y la longitud de la cuerda es el eje mayor, 2a.
PF₁ + PF₂ = 2a
Con esta sola idea se resuelve casi todo.
a² = b² + c²
De aquí sale la relación más útil de todas. ¿Dónde está el extremo C del eje menor? Es un punto de la elipse, a la misma distancia de los dos focos. Por tanto, cada distancia vale la mitad de 2a. Así que el vértice del eje menor está a distancia a de los focos.
Aplica la definición: para cualquier punto N, los dos trozos de AB suman 2a. Por tanto, se pueden usar como radios desde los focos.
Elipse por radios vectores: Cada N da cuatro puntos.
Es otro método muy cómodo: dos circunferencias concéntricas de radios a y b. Cada radio corta a la grande y a la pequeña. Desde la grande baja una paralela al eje menor, y desde la pequeña sale una paralela al eje mayor. Se cruzan en un punto de la elipse. Funciona porque la elipse es una circunferencia achatada.
Elipse por circunferencias concéntricas: Cada radio da un punto.
PF₁ + PF₂ es la cuerda. Se llevan seguidos para obtener 2a, y de ahí sale todo.
Elipse por focos y un punto: 2a es la suma de los radios vectores de P.
Dos diámetros son conjugados si cada uno es paralelo a las tangentes en los extremos del otro. Es lo que sale al ver un círculo en perspectiva. Para hallar los ejes se usa la construcción de Rytz:
Construcción de Rytz: De dos diámetros conjugados a los ejes.
La tangente es la bisectriz exterior de los radios vectores. Tiene un sentido físico muy bonito: un rayo de luz que sale de un foco rebota en la elipse y pasa por el otro foco. Por eso, en algunas salas elípticas, un susurro cruza toda la habitación.
Tangente y normal: La tangente es la mediatriz de F₂F₂'.
2a = 100 y un punto está a 30 de F₁. ¿A qué distancia está de F₂? A 70.
a = 50 y b = 30. ¿Cuánto vale c? 40.
¿A qué distancia de los focos está C? A a.
La elipse, la parábola y la hipérbola son las secciones de un cono de revolución por un plano que no pasa por el vértice: si el plano corta a todas las generatrices, elipse; si es paralelo a una, parábola; si es paralelo a dos, hipérbola. Todas se definen por sus focos y sus directrices, y en todas la tangente en un punto es bisectriz de los radios vectores.
La elipse es el lugar de los puntos cuya suma de distancias a los dos focos es constante e igual al eje mayor 2a. Los vértices del eje menor están a distancia a de los focos. La circunferencia principal (centro O, radio a) contiene los pies de las perpendiculares desde los focos a las tangentes; las focales (centro en un foco, radio 2a) se usan para tangentes e intersecciones.
PF₁ + PF₂ = 2a · a² = b² + c²
Dos diámetros de una elipse son conjugados si cada uno es paralelo a las tangentes en los extremos del otro. Los ejes son el único par de conjugados perpendiculares. Conocidos dos diámetros conjugados se pueden hallar los ejes (construcción de Rytz) o dibujar la elipse por afinidad.