Cónicas

Elipse por radios vectores

Enunciado

Dibuja la elipse de eje mayor AB = 100 mm y distancia focal F₁F₂ = 60 mm.

Resolución paso a paso

  1. Vértices del eje menor. Con centro en F₁ y en F₂ y radio a = 50 mm (la mitad de AB), traza arcos que se cortan en C y D. Por qué: C y D suman a + a = 2a de distancias a los focos: son puntos de la elipse, en el eje menor.
  2. Cuatro puntos con un punto N. Marca un punto N entre F₁ y F₂. Con centro en F₁ y radio AN, y con centro en F₂ y radio NB, traza arcos: se cortan en 1 y 1'. Intercambia los radios para obtener 2 y 2'. Por qué: AN + NB = AB = 2a: la suma de las distancias a los focos es siempre 2a, la definición de la elipse.
  3. Trazar la elipse. Repite con otros puntos N para tener más puntos y únelos con la plantilla de curvas, pasando por A, C, B y D. Por qué: b = √(a² − c²) = √(50² − 30²) = 40 mm: C y D quedan a 40 mm del centro.

Conceptos

La teoría de este ejercicio

Las cónicas

La elipse, la parábola y la hipérbola son las secciones de un cono de revolución por un plano que no pasa por el vértice: si el plano corta a todas las generatrices, elipse; si es paralelo a una, parábola; si es paralelo a dos, hipérbola. Todas se definen por sus focos y sus directrices, y en todas la tangente en un punto es bisectriz de los radios vectores.

Elipse

La elipse es el lugar de los puntos cuya suma de distancias a los dos focos es constante e igual al eje mayor 2a. Los vértices del eje menor están a distancia a de los focos. La circunferencia principal (centro O, radio a) contiene los pies de las perpendiculares desde los focos a las tangentes; las focales (centro en un foco, radio 2a) se usan para tangentes e intersecciones.

Diámetros conjugados

Dos diámetros de una elipse son conjugados si cada uno es paralelo a las tangentes en los extremos del otro. Los ejes son el único par de conjugados perpendiculares. Conocidos dos diámetros conjugados se pueden hallar los ejes (construcción de Rytz) o dibujar la elipse por afinidad.

Más en la lección Elipse.

Más ejercicios de cónicas

Aprende: todo el temario · Resuelve tu ejercicio con una foto