La parábola tiene un solo foco y una directriz. Su definición basta para construirla y para hallar sus tangentes.
Lanza una pelota: su trayectoria es una parábola. Y los faros de los coches o las antenas parabólicas también tienen esa forma, porque concentran toda la luz en un punto, el foco. Su definición es muy sencilla:
PF = distancia de P a la directriz
Tiene un solo foco y una rama abierta. Es, en realidad, una elipse con el otro foco en el infinito.
Parábola por puntos: Cada paralela da dos puntos.
Une P con F y traza la perpendicular a d por P, cuyo pie es D. Como PF = PD, el triángulo es isósceles. Por tanto, la tangente es la mediatriz de FD, que también es la bisectriz de ese ángulo.
Tangente y normal: Perpendicular a FD por P.
Un rayo de luz que sale del foco rebota en la curva con el mismo ángulo. Como la tangente es bisectriz, todos los rayos salen paralelos al eje. Por eso, la luz del faro llega muy lejos.
Si te dan el vértice, el eje y un punto, hay que recurrir a una propiedad sencilla: la tangente en P corta al eje en T, y V está en el punto medio entre T y la proyección X de P. Además, el pie de la perpendicular desde el foco a la tangente está en la tangente en el vértice.
Parábola por vértice, eje y un punto: VX = VT da la tangente, y de ahí sale el foco.
Este ejercicio muestra qué se puede llegar a hacer. Un proyectil sale de A siguiendo la recta r, y su altura máxima está en la recta s. ¿Dónde cae sobre un plano inclinado t? Con dos tangentes se halla el foco. Y con la potencia se calcula el corte exacto, sin dibujar la curva.
La trayectoria de un proyectil: Foco, directriz, simétrico y centro radical.
F está a 20 mm de d. ¿A qué distancia está el vértice? A 10 mm de cada uno.
Un punto está a 35 mm de la directriz. ¿Cuánto mide PF? 35 mm.
¿Dónde está el pie de la perpendicular de F a una tangente? En la tangente en el vértice.
La parábola es el lugar de los puntos que están a la misma distancia del foco F y de la directriz d. El vértice está en el punto medio entre el foco y la directriz. La tangente en un punto es la bisectriz del ángulo que forman la recta al foco y la perpendicular a la directriz; la tangente en el vértice contiene los pies de las perpendiculares desde el foco a todas las tangentes.
PF = distancia de P a d
Los puntos donde una recta corta a una cónica no se sacan cortando la curva dibujada a mano: se construyen. Son los centros de las circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la focal o a la directriz; se hallan por potencia, con el centro radical sobre la recta dada.