Cónicas · PAU Madrid · Modelo 2025-26 · Ejercicio 1.2

Parábola: dónde cae un proyectil

Enunciado

Un proyectil sale del punto A siguiendo una parábola tangente a la recta r y su altura máxima está en la recta s. Halla el punto en el que cae sobre la recta t.

Resolución paso a paso

  1. Punto R: corte de r con s. Prolonga r hasta que corte a s y marca el punto R. Por qué: s es la tangente en el vértice, porque en el vértice se alcanza la altura máxima. La proyección del foco sobre cualquier tangente cae en la tangente en el vértice; por eso R es el pie de la perpendicular trazada desde el foco F a la tangente r.
  2. Punto S de la directriz. Con escuadra y cartabón, traza por R la perpendicular a r y por A la perpendicular a s (la dirección del eje). Se cortan en S. Por qué: El simétrico del foco respecto de una tangente está en la directriz, justo en la perpendicular a la directriz trazada por el punto de tangencia (A). Como R es el pie de la perpendicular desde F a r, ese simétrico está en la perpendicular a r por R: es el punto S.
  3. Foco F. Con centro en R y radio RS, traza la circunferencia: corta a la perpendicular por R, al otro lado de r, en el foco F. Por qué: F y S son simétricos respecto de r, así que están en la misma perpendicular a r y a la misma distancia de R: RF = RS.
  4. Directriz y eje. Por S traza la paralela a s: es la directriz d. Por F traza la perpendicular a s: es el eje de la parábola. Por qué: La directriz es perpendicular al eje, igual que la tangente en el vértice, y S es uno de sus puntos. El eje pasa por el foco y es perpendicular a la tangente en el vértice.
  5. Simétrico G del foco respecto de t. Traza por F la perpendicular a t. Con centro en su pie H y radio HF, obtén al otro lado de t el punto G. Por qué: El punto de impacto I es un punto de la parábola: equidista de F y de d. Por tanto es el centro de una circunferencia que pasa por F y es tangente a d; como su centro está en t, esa circunferencia también pasa por G, el simétrico de F respecto de t. El problema se reduce a trazar circunferencias que pasan por F y G y son tangentes a d (Apolonio punto-punto-recta).
  6. Centro radical CR. Prolonga la recta FG hasta que corte a la directriz d: ese punto es el centro radical CR. Por qué: Todas las circunferencias que pasan por F y G tienen como eje radical la recta FG. El punto CR, en la directriz, tiene la misma potencia respecto de todas ellas, y en particular respecto de las que buscamos, tangentes a d.
  7. Circunferencia auxiliar por F y G. Traza una circunferencia cualquiera que pase por F y G: su centro K está en t (t es la mediatriz de FG). Por qué: La circunferencia auxiliar sirve para medir la potencia de CR: la tangente desde CR a ella tiene la misma longitud que la tangente desde CR a las circunferencias buscadas.
  8. Trazar las tangentes. Une CR con el centro K y halla el punto medio M de CRK con su mediatriz. Con centro en M y radio MK, traza un arco que corte a la circunferencia dada en T₁ y T₂. Une CR con T₁ y con T₂: son las dos rectas tangentes. Por qué: Necesitamos la circunferencia de diámetro CRK (arco capaz de 90°).
  9. Punto de tangencia T en la directriz. Con centro en CR y radio CR-P, traza un arco que corte a la directriz d en T. Por qué: Por potencia, CR-T² = CR-F · CR-G = CR-P². T es el punto donde la circunferencia buscada es tangente a la directriz.
  10. Punto de impacto I. Traza por T la perpendicular a la directriz; donde corta a t está el punto de impacto I. Por qué: El centro de una circunferencia tangente a d en T está en la perpendicular a d por T. Como además está en t, es el punto I, que equidista de F y de d: pertenece a la trayectoria.
  11. Comprobación: la trayectoria. Si quieres, dibuja la parábola de foco F y directriz d con la plantilla de curvas: sale de A tangente a r, toca s en el vértice y pasa por I. Por qué: Es una comprobación visual; el punto I ya estaba determinado con exactitud por la construcción anterior.

Resumen del método

Con las dos tangentes (r en A y s en el vértice) se halla el foco: R = r ∩ s es su proyección sobre r y su simétrico S está en la directriz. El impacto se construye por potencia: circunferencias que pasan por F y por su simétrico G respecto de t y son tangentes a la directriz, con el centro radical CR.

Conceptos

La teoría de este ejercicio

Parábola

La parábola es el lugar de los puntos que están a la misma distancia del foco F y de la directriz d. El vértice está en el punto medio entre el foco y la directriz. La tangente en un punto es la bisectriz del ángulo que forman la recta al foco y la perpendicular a la directriz; la tangente en el vértice contiene los pies de las perpendiculares desde el foco a todas las tangentes.

Intersección de una recta con una cónica

Los puntos donde una recta corta a una cónica no se sacan cortando la curva dibujada a mano: se construyen. Son los centros de las circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la focal o a la directriz; se hallan por potencia, con el centro radical sobre la recta dada.

Más en la lección Parábola.

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