Aprende · Polígonos regulares

Polígonos inscritos

Inscribir un polígono regular es dividir la circunferencia en tantas partes iguales como lados tiene. Unos se construyen de forma exacta y otros solo de forma aproximada.

La idea: cortar una pizza en partes iguales

Inscribir un polígono regular es repartir la circunferencia en tantas partes iguales como lados tiene el polígono. Luego se unen los puntos. Es como cortar una pizza: lo difícil es que cada trozo sea igual. Hay polígonos con construcción exacta y otros que solo son aproximados.

Hexágono: el radio cabe seis veces

Es el más sencillo: el lado es igual al radio. Sin cambiar el compás, se va marcando alrededor de la circunferencia. Y si unes un punto sí y otro no, sale un triángulo equilátero.

Hexágono inscrito: Seis cuerdas iguales al radio.

Triángulo inscrito: Se toma un punto de cada dos del hexágono.

Dodecágono: Bisectrices entre los puntos del hexágono.

Cuadrado y octógono: los diámetros

Dos diámetros perpendiculares dan cuatro puntos: el cuadrado. Las bisectrices de esos ángulos añaden otros cuatro: el octógono.

Cuadrado inscrito: Dos diámetros perpendiculares.

Octógono inscrito: Se añaden las bisectrices.

Pentágono y decágono: el punto medio

Es una construcción clásica, y es exacta. En ella se esconde la sección áurea:

1. Traza dos diámetros perpendiculares.
2. Halla el punto medio M de un radio.
3. Con centro en M y radio hasta el extremo A del otro diámetro, corta al primero en N.
4. AN es el lado del pentágono. Y ON es el lado del decágono.
5. Lleva ese lado alrededor de la circunferencia.

Pentágono inscrito: AN es el lado.

Decágono inscrito: ON es el lado.

Heptágono: aproximado

El heptágono no se puede construir de forma exacta. Pero tiene un truco muy bueno: su lado es casi igual a la mitad del lado del triángulo inscrito. El error es tan pequeño que no se ve.

Heptágono inscrito: La mitad del lado del triángulo.

Consejos

• No lleves el lado siempre en el mismo sentido: los errores se acumulan. Lleva la mitad por cada lado desde el primer punto.
• Si el último lado no sale igual, revisa en lugar de disimularlo.
• Empieza a marcar en el punto que indique el enunciado.

Errores típicos

• Medir con transportador si el enunciado pide regla y compás.
• Confundir AN con ON. AN es el del pentágono.
• Unir los puntos de manera incorrecta en los estrellados.
• Olvidar que el heptágono es aproximado.

Comprueba si lo has entendido

Radio de 30 mm. ¿Cuánto mide el lado del hexágono? 30 mm.

¿Cómo se pasa del cuadrado al octógono? Con las bisectrices de sus diámetros.

¿Es exacto el pentágono? Sí. El heptágono no.

Resumen para repasar

Polígonos regulares inscritos

Inscribir un polígono regular es dividir la circunferencia en partes iguales. El radio cabe seis veces exactas (hexágono y, uniendo alternos, triángulo). Dos diámetros perpendiculares dan el cuadrado y, con sus bisectrices, el octógono. El pentágono y el decágono salen del punto medio de un radio. Para el resto hay métodos aproximados o el método general.

1. Hexágono: con el compás abierto al radio, lleva seis cuerdas seguidas.
2. Pentágono: halla el punto medio M de un radio. Con centro en M y radio hasta el extremo A del diámetro perpendicular, corta el diámetro en N: AN es el lado del pentágono (y ON, el del decágono).
3. Heptágono (aproximado): el lado es la mitad del lado del triángulo inscrito.

Ejercicios resueltos

• Hexágono regular inscrito — Inscribe un polígono regular de 6 lados en una circunferencia de radio 40 mm.
• Triángulo equilátero inscrito — Inscribe un polígono regular de 3 lados en una circunferencia de radio 40 mm.
• Cuadrado inscrito — Inscribe un polígono regular de 4 lados en una circunferencia de radio 40 mm.
• Pentágono regular inscrito — Inscribe un polígono regular de 5 lados en una circunferencia de radio 45 mm.
• Octógono regular inscrito — Inscribe un polígono regular de 8 lados en una circunferencia de radio 40 mm.
• Decágono regular inscrito — Inscribe un polígono regular de 10 lados en una circunferencia de radio 45 mm.
• Dodecágono regular inscrito — Inscribe un polígono regular de 12 lados en una circunferencia de radio 42 mm.
• Heptágono inscrito en una circunferencia (aproximado) — Inscribe un heptágono regular en la circunferencia de centro O y radio 40 mm, con un vértice en A.