Aprende · Proporcionalidad, equivalencia y escalas

Escalas

Toda lámina está a una escala. Saber construir una escala gráfica permite medir y dibujar directamente con medidas reales.

La idea: dibujar un edificio en un folio

Un edificio no cabe en un folio. Y un tornillo pequeño no se ve bien si se dibuja a su tamaño. La escala dice cuántas veces se ha reducido o ampliado la realidad.

E = medida en el dibujo / medida real

Las escalas normalizadas son 1:2, 1:5, 1:10, 1:20, 1:50, 1:100 y, para ampliar, 2:1, 5:1, 10:1. Se usan estas para no llenar los talleres con reglas diferentes.

Pasar medidas

Cuidado: las cotas se escriben siempre con la medida real, sea cual sea la escala.

Escala con Tales, sin calcular

Si la escala es 3:5, no hace falta hacer cuentas: se divide el segmento en 5 partes con Tales y se toman 3.

Segmento a escala 3:5: Tres de las cinco divisiones de AB.

La escala gráfica

Es como una regla dibujada dentro de la lámina. Si amplías o reduces un plano al fotocopiarlo, los números de la escala ya no sirven, pero la escala gráfica cambia de tamaño con el dibujo, y sigue siendo correcta. Por eso aparece en todos los mapas.

La contraescala

A la izquierda del cero se añade una división más, subdividida, llamada contraescala o talón. Sirve para medir las fracciones: 34 mm son la marca 30 de la derecha más el 4 del talón.

  1. Calcula su longitud. A 2:1, 40 mm reales se dibujan con 80 mm.
  2. Divide ese segmento en partes con Tales. Son 10 mm reales cada una.
  3. Añade una división a la izquierda del cero y divídela en 10.
  4. Rotula: 0 en el origen, y 10, 20, 30 y 40 a la derecha.

Escala gráfica con contraescala: Cada división grande son 10 mm reales, y las del talón, 1 mm.

Hallar la escala de un dibujo

Si una puerta de 2 m mide 4 cm en el plano, la escala es 4 / 200 = 1:50. Basta con conocer una medida real.

Errores típicos

Comprueba si lo has entendido

Un muro de 6 m a escala 1:100. ¿Cuánto mide en el papel? 6 cm.

Una pieza de 8 mm a escala 5:1. ¿Cuánto mide en el dibujo? 40 mm.

¿Por qué es útil la escala gráfica? Porque sigue siendo correcta aunque se amplíe o reduzca el dibujo.

Resumen para repasar

Escalas numéricas y gráficas

La escala es la razón entre la medida en el dibujo y la medida real (1:50 reduce, 2:1 amplía). Una escala gráfica es un segmento dividido en partes que representan medidas reales redondas, para medir sin hacer cuentas; a la izquierda del cero lleva la contraescala o talón, una división más subdividida para las fracciones. Las escalas normalizadas son 1:2, 1:5, 1:10, 1:20, 1:50… y 2:1, 5:1, 10:1…

E = medida en el dibujo / medida real

  1. Calcula la longitud en el papel de una medida real redonda: real × escala.
  2. Divide ese segmento en las partes que representa con el teorema de Tales.
  3. Añade a la izquierda del cero una división más y divídela en 10 (contraescala).

Semejanza y escalas

Dos figuras son semejantes si tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales; la razón de semejanza es el cociente entre lados homólogos. Una escala es una semejanza entre el dibujo y la realidad: escala = medida en el dibujo / medida real (1:50 reduce, 2:1 amplía).

E = dibujo / realidad

Teorema de Tales

Si varias rectas paralelas cortan a dos rectas, los segmentos que determinan en una son proporcionales a los que determinan en la otra. Sirve para dividir un segmento en partes iguales o proporcionales y para construir proporciones.

OA / OB = OA' / OB'

  1. Para dividir AB en n partes iguales: traza desde A una semirrecta auxiliar con cualquier ángulo.
  2. Lleva sobre ella n veces una medida cualquiera con el compás.
  3. Une la última marca con B.
  4. Traza paralelas a esa recta por las demás marcas: cortan a AB en las divisiones.

Ejercicios resueltos