Aprende · Proporcionalidad, equivalencia y escalas

Teorema de Tales

Con el teorema de Tales se divide un segmento en partes iguales o proporcionales y se construye cualquier proporción entre segmentos.

La idea: la sombra del palo

Cuenta la historia que Tales midió la altura de una pirámide con la sombra de un palo. Los rayos del sol son paralelos, así que la pirámide y el palo proyectan sombras en la misma proporción. Es la idea central de esta lección, y es lo que permite repartir una longitud sin hacer ni una cuenta.

Las paralelas que cortan a dos rectas forman segmentos proporcionales.

Dividir un segmento en partes iguales

Dividir 80 mm en 7 partes da un número con decimales incómodo: 11,428… Con Tales no hay que calcular nada.

1. Desde A, traza una semirrecta en cualquier dirección.
2. Lleva sobre ella 7 medidas iguales, de cualquier tamaño, con el compás.
3. Une la última marca con B.
4. Traza paralelas a esa recta por las demás marcas. Dividen AB.

Dividir en 7 partes iguales: Las paralelas llevan las divisiones de la semirrecta al segmento.

Partes proporcionales

¿Y si debes repartir AB en proporción a 2, 3 y 4? Es como repartir un premio entre amigos según lo que puso cada uno. Son 2 + 3 + 4 = 9 partes, así que llevas 9 divisiones y usas las marcas 2, 5 y 9.

Partes proporcionales a 2, 3 y 4: Las paralelas pasan por las marcas 2 y 5.

Cuarta y tercera proporcional

La cuarta proporcional es una regla de tres dibujada: si 30 son a 45, ¿a cuánto corresponden 36? Se cumple a / b = c / x.

x = b · c / a

1. Traza dos semirrectas desde O.
2. En una, lleva OA = a y OB = b. En la otra, OC = c.
3. Une A con C.
4. Por B, traza la paralela a AC. Corta en X. OX es x.

Cuarta proporcional: a / b = c / x. Con 30, 45 y 36 sale x = 54.

La tercera proporcional es el mismo caso con b repetido: a / b = b / x.

Tercera proporcional: Con 30 y 45 sale x = 67,5 mm.

Semejanza: cambiar el tamaño sin deformar

Dos figuras son semejantes si tienen los mismos ángulos y sus lados son proporcionales, como una foto y su ampliación. Una escala es una semejanza. Y aquí viene un uso práctico de Tales: construir un triángulo semejante con un perímetro dado.

Se llevan los tres lados en una recta auxiliar y se reparte el perímetro pedido con paralelas. Es repartir el segmento en proporción a los lados.

Triángulo semejante de perímetro dado: El perímetro p se reparte en la proporción de los lados del triángulo.

Errores típicos

• Trazar paralelas a ojo. Se usan escuadra y cartabón.
• Unir una marca que no es la última con B.
• Llevar medidas diferentes en la semirrecta.
• Elegir un ángulo muy cerrado. Los cruces se vuelven imprecisos.

Comprueba si lo has entendido

¿Importa qué tamaño tienen las divisiones de la semirrecta? No, solo que sean iguales.

¿Cuánto vale la cuarta proporcional de 20, 30 y 40? 60 (30 · 40 / 20).

Repartes 120 mm en proporción a 1, 2 y 3. ¿Cuánto mide cada parte? 20, 40 y 60 mm.

Resumen para repasar

Teorema de Tales

Si varias rectas paralelas cortan a dos rectas, los segmentos que determinan en una son proporcionales a los que determinan en la otra. Sirve para dividir un segmento en partes iguales o proporcionales y para construir proporciones.

OA / OB = OA' / OB'

1. Para dividir AB en n partes iguales: traza desde A una semirrecta auxiliar con cualquier ángulo.
2. Lleva sobre ella n veces una medida cualquiera con el compás.
3. Une la última marca con B.
4. Traza paralelas a esa recta por las demás marcas: cortan a AB en las divisiones.

Tercera y cuarta proporcional

La cuarta proporcional de a, b y c es el segmento x que cumple a / b = c / x. Se construye con Tales: a y b en una semirrecta, c en otra, y una paralela. La tercera proporcional de a y b es la cuarta proporcional de a, b y b (a / b = b / x).

x = b · c / a

1. Traza dos semirrectas desde un punto O.
2. Lleva a y b sobre una (OA = a, OB = b) y c sobre la otra (OC = c).
3. Une A con C y traza por B la paralela a AC: corta a la segunda semirrecta en X.
4. OX es la cuarta proporcional.

Semejanza y escalas

Dos figuras son semejantes si tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales; la razón de semejanza es el cociente entre lados homólogos. Una escala es una semejanza entre el dibujo y la realidad: escala = medida en el dibujo / medida real (1:50 reduce, 2:1 amplía).

E = dibujo / realidad

Ejercicios resueltos

• Dividir un segmento en partes iguales (Tales) — Divide el segmento AB de 80 mm en 7 partes iguales.
• Cuarta proporcional de tres segmentos — Halla el segmento x cuarto proporcional a los segmentos a = 30 mm, b = 45 mm y c = 36 mm (a / b = c / x).
• Dividir un segmento en partes proporcionales — Divide el segmento AB = 90 mm en partes proporcionales a 2, 3 y 4.
• Tercera proporcional a dos segmentos — Halla la tercera proporcional x a los segmentos a = 30 mm y b = 45 mm (a / b = b / x).
• Triángulo semejante a otro con perímetro dado — Dibuja un triángulo semejante al ABC cuyo perímetro sea el segmento p = 130 mm.