Proporcionalidad

Cuarta proporcional de tres segmentos

Enunciado

Halla el segmento x cuarto proporcional a los segmentos a = 30 mm, b = 45 mm y c = 36 mm (a / b = c / x).

Resolución paso a paso

  1. Dos semirrectas desde O. Desde un punto O, traza dos semirrectas r y s que formen un ángulo cualquiera. Por qué: El teorema de Tales funciona con cualquier ángulo: lo que importa es cortar las dos semirrectas con rectas paralelas.
  2. Llevar a y b sobre r. Con el compás, lleva sobre r los segmentos a y b desde O: obtienes A (OA = a) y B (OB = b). Por qué: Los dos primeros términos de la proporción van en la misma semirrecta, medidos desde O.
  3. Llevar c sobre s. Lleva sobre s el segmento c desde O: obtienes C (OC = c). Por qué: El tercer término va en la otra semirrecta, emparejado con a.
  4. Unir A con C. Une A con C.
  5. Paralela por B. Con escuadra y cartabón, traza por B la paralela a AC. Corta a s en X. Por qué: Por Tales, las paralelas AC y BX cortan a las dos semirrectas en segmentos proporcionales: OA / OB = OC / OX.
  6. La cuarta proporcional. El segmento OX es la cuarta proporcional x. Por qué: a / b = c / x, así que x = b · c / a = 45 · 36 / 30 = 54 mm.

Conceptos

La teoría de este ejercicio

Teorema de Tales

Si varias rectas paralelas cortan a dos rectas, los segmentos que determinan en una son proporcionales a los que determinan en la otra. Sirve para dividir un segmento en partes iguales o proporcionales y para construir proporciones.

Tercera y cuarta proporcional

La cuarta proporcional de a, b y c es el segmento x que cumple a / b = c / x. Se construye con Tales: a y b en una semirrecta, c en otra, y una paralela. La tercera proporcional de a y b es la cuarta proporcional de a, b y b (a / b = b / x).

Semejanza y escalas

Dos figuras son semejantes si tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales; la razón de semejanza es el cociente entre lados homólogos. Una escala es una semejanza entre el dibujo y la realidad: escala = medida en el dibujo / medida real (1:50 reduce, 2:1 amplía).

Más en la lección Teorema de Tales.

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