La elipse, la parábola y la hipérbola se llaman cónicas porque son las curvas que resultan al cortar un cono por un plano. Qué curva sale depende solo de la inclinación del plano respecto del eje.
Coge un cucurucho de helado y córtalo. Dependiendo de la inclinación del corte, el borde sale con una forma u otra. Las tres curvas posibles, además de la circunferencia, son las cónicas, y se llaman así por esto: salen de cortar un cono.
Compara el ángulo del plano con el eje y el semiángulo del cono. Mayor: elipse. Igual: parábola. Menor: hipérbola.
El semiángulo del cono es el que forma una generatriz con el eje. Para aclararlo con cifras, en un cono con semiángulo de 30°, un plano que forme 60° con el eje da una elipse, uno de 30°, una parábola, y uno de 10°, una hipérbola.
Es un caso especial, en el que no sale ninguna curva: como el plano contiene al vértice, corta a la superficie en dos generatrices. La sección es un triángulo, formado por esas dos generatrices y una cuerda de la base.
Sección de un cono por un plano que pasa por el vértice: El plano corta a la base en una cuerda. Desde sus extremos salen las generatrices.
Con un plano de canto, el método es el de siempre, ahora con generatrices en vez de aristas:
Porque es lo más rápido y preciso. A esa altura, el cono es una circunferencia en planta, cuyo radio se lee en el alzado. Basta con cortarla con la línea de referencia de M''. Una generatriz también valdría, pero hay que dibujarla en las dos proyecciones.
Sección de un cono por un plano de canto: En planta y en verdadera magnitud, la curva es una elipse.
Mete una bola dentro del cucurucho, que toque el cono y toque también el plano del corte. Pon otra bola al otro lado del plano. Los puntos donde las bolas tocan el plano son exactamente los focos de la elipse. Es una idea muy bonita, porque une el cono con la definición que se usa para trazar la cónica en el plano.
Semiángulo de 25° y plano a 25° del eje. ¿Qué curva sale? Una parábola.
¿Qué sección da un plano que pasa por el vértice? Un triángulo: dos generatrices y una cuerda de la base.
¿Qué sale con un plano perpendicular al eje? Una circunferencia.
Al cortar un cono de revolución por un plano que no pasa por el vértice se obtiene una cónica. Si el plano corta a todas las generatrices es una elipse (una circunferencia si es perpendicular al eje); si es paralelo a una sola generatriz, una parábola; si es paralelo a dos, una hipérbola. Las esferas de Dandelin, inscritas en el cono y tangentes al plano, lo tocan en los focos.
Ángulo plano–eje mayor que el semiángulo del cono: elipse · igual: parábola · menor: hipérbola