Aprende · Tangencias y enlaces
Toda tangencia se apoya en dos propiedades: el radio es perpendicular a la tangente y los puntos de tangencia entre circunferencias están alineados con sus centros.
Imagina una rueda apoyada en el suelo. El suelo no la atraviesa ni se queda lejos: la toca en un solo punto. Una recta tangente es exactamente eso, y ese punto se llama punto de tangencia.
Piensa ahora en el radio de la rueda que baja justo hasta el suelo: es vertical, y el suelo es horizontal. Forman un ángulo recto, y esa idea tan sencilla resuelve todos los ejercicios de esta lección.
El radio que llega al punto de tangencia es siempre perpendicular a la tangente.
El radio y la tangente: Para trazar la tangente por un punto T de la circunferencia, basta con la perpendicular al radio OT.
Lo que decide cómo se relacionan una recta y una circunferencia es la distancia de la recta al centro. Si es menor que el radio, la recta entra y sale: es secante. Si es igual, es tangente. Si es mayor, es exterior y no la toca.
Recta y circunferencia: Las tres rectas son paralelas; solo cambia a qué distancia del centro pasan.
Este es el ejercicio más importante. Te dan una circunferencia de centro O y un punto P fuera, y hay que trazar las tangentes desde P. A ojo parece fácil, pero el punto de tangencia hay que construirlo: si apoyas la regla como te parece, el resultado no vale.
Pensemos qué sabemos del punto de tangencia T. La tangente PT y el radio OT forman 90°, así que desde T, el segmento PO se ve con un ángulo recto. ¿Y qué puntos ven un segmento con 90°? Los de la circunferencia que lo tiene como diámetro. Por eso T está en dos sitios a la vez: en la circunferencia dada y en la de diámetro PO.
Por qué sirve la circunferencia de diámetro PO: T está en las dos circunferencias, y desde él PO se ve con 90°: justo lo que hace falta para que PT sea tangente.
Los pasos, por tanto, son estos:
Tangentes desde un punto exterior: Siempre hay dos tangentes, simétricas respecto de la recta PO.
Dos cosas curiosas que sirven para comprobar tu dibujo: las dos tangentes miden lo mismo de P a su punto de tangencia, y la recta PO reparte el ángulo entre ellas justo por la mitad.
A veces no te dan un punto, sino una dirección: «traza las tangentes paralelas a la recta d». Aquí no hace falta nada complicado. Si la tangente es paralela a d, el radio que llega a ella es perpendicular a d. Así que traza por O la perpendicular a d: corta a la circunferencia en los dos puntos de tangencia.
Tangentes paralelas a una dirección: La perpendicular a d por el centro da los dos puntos de tangencia, y por ellos pasan las paralelas a d.
Una correa que abraza dos poleas es una tangente común. Si va por fuera, sin cruzarse, las dos ruedas quedan al mismo lado de cada tramo: son las tangentes exteriores. Si va cruzada, cada rueda queda a un lado: son las tangentes interiores.
La idea para resolverlas es un truco muy elegante llamado dilatación: encoger las dos circunferencias a la vez hasta que la pequeña se convierta en un punto. Entonces el problema es el que ya sabes hacer: tangentes desde un punto.
Tangentes exteriores: La circunferencia auxiliar tiene de radio 30 − 15 = 15 mm. Los radios de una misma tangente son paralelos.
Los pasos son los mismos con dos cambios: la auxiliar tiene de radio r₁ + r₂, y los radios de la pequeña van en sentido contrario, porque cada circunferencia queda a un lado de la tangente.
Tangentes interiores: La auxiliar mide 25 + 15 = 40 mm de radio. Las tangentes se cruzan entre las dos circunferencias.
Una recta pasa a 20 mm del centro de una circunferencia de radio 20 mm. ¿Cómo es? Tangente: su distancia al centro es igual al radio.
¿Por qué el punto de tangencia está en la circunferencia de diámetro PO? Porque radio y tangente forman 90°, y los puntos que ven PO con 90° son los de esa circunferencia.
Dos circunferencias tienen radios de 30 y 10 mm. ¿Qué radio tiene la auxiliar para las tangentes exteriores? ¿Y para las interiores? 20 mm para las exteriores (30 − 10) y 40 mm para las interiores (30 + 10).
Si dos circunferencias se cortan, ¿cuántas tangentes comunes tienen? Dos, las exteriores.
Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia. Si dos circunferencias son tangentes, el punto de tangencia está alineado con los dos centros, y la distancia entre centros es la suma de los radios (tangentes exteriores) o su diferencia (interiores). Todo punto de tangencia se construye con estas dos reglas, nunca a ojo.
d = R + r (exteriores) · d = R − r (interiores)
Desde un punto exterior P se pueden trazar dos tangentes a una circunferencia de centro O. Los puntos de tangencia forman un ángulo recto con P y O, así que están en la circunferencia de diámetro PO (arco capaz de 90°).
Las tangentes exteriores dejan las dos circunferencias al mismo lado; las interiores las separan. Se hallan reduciendo la pequeña a su centro: tangentes desde O₂ a una circunferencia auxiliar de centro O₁ y radio r₁ − r₂ (exteriores) o r₁ + r₂ (interiores). Después se trasladan paralelas a la distancia r₂.
Si a todas las distancias se les suma o resta la misma cantidad, las tangencias se conservan. Restando el radio de una circunferencia dada, esta se convierte en un punto (su centro) y las demás cambian de radio: un problema con circunferencias se reduce a uno más sencillo con puntos. Al final se deshace la dilatación.
En el examen. Marca siempre los puntos de tangencia: en la PAU se valoran.