Tangencias

Tangentes exteriores comunes a dos circunferencias

Enunciado

Traza las rectas tangentes exteriores comunes a las circunferencias de centro O₁ (radio 30 mm) y O₂ (radio 15 mm), con los centros a 90 mm.

Resolución paso a paso

  1. Circunferencia de radio r₁ − r₂. Con centro en O₁, traza una circunferencia de radio 30 − 15 = 15 mm. Por qué: Si se acercan las tangentes 15 mm hacia O₁ (el radio de la pequeña), la circunferencia pequeña se reduce a su centro O₂ y la grande a esta circunferencia auxiliar. El problema pasa a ser: tangentes desde un punto.
  2. Trazar las tangentes. Une O₂ con el centro O₁ y halla el punto medio M de O₂O₁ con su mediatriz. Con centro en M y radio MO₁, traza un arco que corte a la circunferencia dada en T₁ y T₂. Une O₂ con T₁ y con T₂: son las dos rectas tangentes. Por qué: Necesitamos la circunferencia de diámetro O₂O₁ (arco capaz de 90°).
  3. Puntos de tangencia en la grande. Prolonga los radios O₁T₁ y O₁T₂ hasta la circunferencia de centro O₁: puntos A y B. Por qué: Las tangentes buscadas son paralelas a las auxiliares y están 15 mm más afuera, en la dirección de esos radios.
  4. Puntos de tangencia en la pequeña. Por O₂, traza las paralelas a O₁A y a O₁B: cortan a la circunferencia pequeña en A' y B'. Por qué: Los radios que van a los puntos de tangencia de una misma recta son paralelos (los dos son perpendiculares a ella).
  5. Las tangentes. Une A con A' y B con B': son las dos tangentes exteriores. Por qué: Para las tangentes interiores se hace lo mismo con una auxiliar de radio r₁ + r₂.

Conceptos

La teoría de este ejercicio

Propiedades de las tangencias

Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia. Si dos circunferencias son tangentes, el punto de tangencia está alineado con los dos centros, y la distancia entre centros es la suma de los radios (tangentes exteriores) o su diferencia (interiores). Todo punto de tangencia se construye con estas dos reglas, nunca a ojo.

Tangentes desde un punto exterior

Desde un punto exterior P se pueden trazar dos tangentes a una circunferencia de centro O. Los puntos de tangencia forman un ángulo recto con P y O, así que están en la circunferencia de diámetro PO (arco capaz de 90°).

Tangentes comunes a dos circunferencias

Las tangentes exteriores dejan las dos circunferencias al mismo lado; las interiores las separan. Se hallan reduciendo la pequeña a su centro: tangentes desde O₂ a una circunferencia auxiliar de centro O₁ y radio r₁ − r₂ (exteriores) o r₁ + r₂ (interiores). Después se trasladan paralelas a la distancia r₂.

Más en la lección Rectas tangentes.

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