Mediatriz, bisectriz y lugares geométricos

La mediatriz y la bisectriz no son solo trazados: son lugares geométricos. Entenderlos así es lo que permite resolver triángulos y tangencias.

La idea: repartir por igual

Dos amigos viven en A y en B, y quieren quedar a la misma distancia de sus casas. ¿Dónde? No hay un solo punto: todos los que estén en cierta línea valen. Esa línea es la mediatriz. Ahora imagina una calle formada por dos paredes que se abren: si quieres caminar a la misma distancia de las dos paredes, vas por la bisectriz.

Mediatriz: misma distancia a dos puntos. Bisectriz: misma distancia a dos rectas.

La mediatriz

Es la recta perpendicular a AB por su punto medio.

Con centro en A y un radio mayor que la mitad de AB, traza un arco a cada lado.
Con centro en B y el mismo radio, traza otros dos arcos.
Une los dos cruces.

Mediatriz de un segmento: Los dos cruces están a la misma distancia de A y de B.

La bisectriz

Divide un ángulo en dos iguales.

Con centro en el vértice, traza un arco que corte a los dos lados.
Con centro en esos puntos y el mismo radio, traza dos arcos que se crucen.
Une el vértice con el cruce.

Bisectriz de un ángulo: El cruce equidista de los dos lados.

¿Cuántas bisectrices tienen dos rectas?

Dos rectas que se cortan forman cuatro ángulos, y por eso tienen dos bisectrices, perpendiculares entre sí. Por tanto, en un problema de tangencias hay que pensar en cuál de ellas cae la solución.

Sin vértice

¿Y si las rectas se cortan fuera del papel? Una transversal AB forma un triángulo con el vértice que no se ve. Las bisectrices de ese triángulo se cortan en un punto de la bisectriz buscada, y con las exteriores obtienes un segundo punto.

Bisectriz de vértice inaccesible: Interiores y exteriores dan dos puntos de la bisectriz.

El lugar geométrico: la herramienta maestra

Un lugar geométrico es el conjunto de puntos que cumplen una condición. Si un punto tiene que cumplir dos condiciones, se dibuja el lugar de cada una, y el punto está donde se cortan. Con esta idea se resuelven casi todos los problemas de triángulos y tangencias.

A la misma distancia de A y B: la mediatriz.
A la misma distancia de dos rectas: las bisectrices.
A distancia d de una recta: dos paralelas.
A distancia r de un punto: una circunferencia.
Desde donde AB se ve bajo un ángulo: el arco capaz.

Dos condiciones a la vez: La mediatriz corta a las dos bisectrices y da dos soluciones.

Errores típicos

Usar un radio menor que la mitad de AB. Los arcos no se cortan.
Cambiar el radio de A a B. La mediatriz no sale por el punto medio.
Olvidar la segunda bisectriz en un problema de lugares geométricos.
Trazar la mediatriz a ojo. Se nota enseguida.

Comprueba si lo has entendido

Un punto está a 30 mm de A y a 30 mm de B. ¿Dónde está? En la mediatriz de AB.

¿Cómo son las dos bisectrices de dos rectas? Perpendiculares entre sí.

¿Por qué se usan los lugares geométricos? Porque el punto que cumple dos condiciones está en el cruce de sus lugares.

Resumen para repasar

Mediatriz de un segmento

La mediatriz de AB es la recta perpendicular a AB por su punto medio. Es el lugar geométrico de los puntos que están a la misma distancia de A y de B.

PA = PB para todo punto P de la mediatriz

Con centro en A y un radio mayor que la mitad de AB, traza un arco a cada lado del segmento.
Con centro en B y el mismo radio, traza otros dos arcos que corten a los anteriores.
Une los dos puntos de corte.

Bisectriz de un ángulo

La bisectriz divide un ángulo en dos iguales. Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los dos lados del ángulo, por eso los centros de las circunferencias tangentes a dos rectas están en ella.

Con centro en el vértice, traza un arco que corte a los dos lados.
Con centro en esos dos puntos y el mismo radio, traza dos arcos que se corten.
Une el vértice con ese punto.

Lugares geométricos

Un lugar geométrico es el conjunto de puntos que cumplen una condición. Cuando un punto tiene que cumplir dos condiciones, se dibuja el lugar de cada una y el punto está donde se cortan. Es la herramienta con la que se resuelven casi todos los problemas de triángulos y tangencias.

Puntos a la misma distancia de A y B: la mediatriz de AB.
Puntos a la misma distancia de dos rectas: sus bisectrices.
Puntos a una distancia d de una recta: dos paralelas a distancia d.
Puntos a una distancia r de un punto: la circunferencia de radio r.
Puntos desde los que AB se ve con un ángulo α: el arco capaz.

Ejercicios resueltos

Mediatriz de un segmento — Traza la mediatriz del segmento AB de 70 mm.
Bisectriz de un ángulo — Divide el ángulo dado en dos ángulos iguales.
Bisectriz de un ángulo de vértice inaccesible — Traza la bisectriz del ángulo que forman las rectas r y s, cuyo vértice queda fuera del papel.
Punto que equidista de dos puntos y de dos rectas — Halla los puntos que están a la misma distancia de A y de B y, a la vez, a la misma distancia de las rectas r y s.