Sistema diédrico

Cubo apoyado por una arista en el plano vertical

Enunciado

Dibuja las proyecciones del cubo de arista AE (A₂, E₂ dados, AE en el plano vertical) cuyas caras ABFE y ADHE forman 60° y 30° con el plano vertical. Distingue aristas vistas y ocultas.

Resolución paso a paso

  1. Nuevo plano perpendicular a la arista. AE está en el plano vertical (alejamiento 0) y se ve en verdadera magnitud en A₂E₂. Traza una nueva línea de tierra LT' perpendicular a A₂E₂: en esa vista auxiliar la arista AE se ve de punta, en el punto A₄ ≡ E₄ donde la prolongación de A₂E₂ corta a LT'. Por qué: En una vista según la dirección de AE, las caras que contienen a AE se ven de canto y el plano vertical es LT': los ángulos de las caras con el plano vertical se ven en verdadera magnitud.
  2. La sección recta en verdadera magnitud. Desde A₄ lleva la arista AB = 40 formando 60° con LT' y AD = 40 formando 30° con LT' al otro lado (AB ⟂ AD). Completa el cuadrado A₄B₄C₄D₄. Sin transportador: 60° lo da el cartabón; 150° = 180° − 30°: el suplementario de 30° (lo da el cartabón). Por qué: La cara ABCD es perpendicular a AE, así que en esta vista se ve en verdadera magnitud; las caras ABFE y ADHE se ven de canto según A₄B₄ y A₄D₄.
  3. Volver al alzado. La cara ABCD es perpendicular a AE: su alzado está en la perpendicular a A₂E₂ por A₂. Por B₄, C₄ y D₄ traza paralelas a A₂E₂ hasta esa recta: B₂, C₂, D₂. F₂, G₂, H₂ se obtienen trasladando B₂, C₂, D₂ según A₂E₂. Por qué: En un cambio de plano la proyección que se conserva (el alzado) y la nueva están en la misma línea de referencia, perpendicular a LT'.
  4. Alejamientos a la planta. El alejamiento de cada vértice es su distancia a LT' en la vista auxiliar. Por B₂, C₂ y D₂ baja líneas de referencia y lleva con el compás esas distancias bajo la LT: B₁, C₁, D₁. F₁, G₁, H₁ se obtienen trasladando según A₁E₁. Por qué: LT' representa al plano vertical en la vista auxiliar, así que la distancia de cada punto a LT' es su alejamiento.
  5. Aristas vistas y ocultas. Repasa con trazo grueso las aristas que se ven y con trazo discontinuo las ocultas, en el alzado y en la planta. Por qué: En el alzado se ve lo que está más adelante (mayor alejamiento) y en la planta lo que está más alto (mayor cota); una arista es oculta si solo pertenece a caras que miran hacia atrás. Ocultas en el alzado: E₂A₂. Ocultas en la planta: C₁D₁, D₁A₁, D₁H₁.

Resumen del método

Vista auxiliar según la arista AE (vista de punta): la sección recta se ve en verdadera magnitud con sus ángulos de 60° y 30° respecto del plano vertical; de ella salen los alzados y los alejamientos de todos los vértices.

Conceptos

La teoría de este ejercicio

Poliedros regulares

El tetraedro (4 caras triangulares), el hexaedro o cubo (6 cuadradas) y el octaedro (8 triangulares) son los de la PAU. Conviene recordar sus relaciones: la diagonal de la cara del cubo es a√2 y la del cubo a√3; la altura del tetraedro de arista a es a√(2/3); el octaedro tiene su sección principal cuadrada.

Visibilidad

En cada proyección el contorno aparente siempre se ve. Del resto, se ven las aristas de las caras que miran al observador: en el alzado, las de mayor alejamiento; en la planta, las de mayor cota. Las aristas ocultas se dibujan con trazo discontinuo.

Más en la lección Poliedros regulares.

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