Los poliedros se representan a partir de sus relaciones métricas y de su posición respecto de los planos de proyección. La visibilidad de las aristas es parte de la solución.
Un poliedro es un cuerpo cerrado con caras planas. Es regular cuando todas sus caras son iguales y en cada vértice se junta el mismo número de ellas. Son como un dado perfecto: lo tires como lo tires, siempre se ve igual. Solo existen cinco, y en el examen aparecen sobre todo tres:
Dibujar un poliedro es averiguar dónde caen sus vértices. Sus medidas salen de unas pocas relaciones.
Casi todo se reduce a triángulos rectángulos dentro del poliedro. Si llamamos a a la arista:
No hace falta calcular con la calculadora: estas medidas se construyen con el compás, como verás en las animaciones.
La base se ve tal cual en planta, porque está en el suelo. El vértice V está encima de su centro G. Lo único que no se ve es cuánto mide la altura. Pero la arista VA mide lo mismo que las demás. Por tanto, el triángulo que forman V, G y A es rectángulo y conocemos dos de sus lados.
Tetraedro apoyado en el plano horizontal: La altura aparece al abatir una arista lateral.
Imagina el octaedro en equilibrio sobre un vértice. Su sección media queda horizontal y se ve en planta como un cuadrado en VM. Y aquí está el truco: las tres diagonales del octaedro miden lo mismo. Así que la diagonal vertical AF mide lo mismo que la diagonal BD, que ya se ve en planta.
Octaedro con la diagonal vertical: La diagonal de la planta se lleva en vertical. La sección media queda justo a la mitad.
Cuando el cubo está torcido, el secreto es mirarlo por donde es sencillo. Si miras a lo largo de una arista, la ves como un punto y las caras que llegan a ella se ven como líneas, con su ángulo real. Eso es hacer un cambio de plano con la LT perpendicular a la arista. Desde esa vista salen los datos de todos los vértices.
Cubo apoyado por una arista: En la vista auxiliar, la arista AE es un punto y la sección recta se dibuja en VM.
Las aristas ocultas son parte de la solución. Hay tres reglas sencillas, que valen para todos los sólidos:
Si una arista interior llega a un vértice que está por delante, en esa proyección se ve. Si llega a uno que está por detrás, normalmente va discontinua.
¿Cuánto mide la diagonal de una cara de un cubo de 40 mm? 40·√2, unos 56,6 mm.
¿Qué figura es la sección media de un octaedro? Un cuadrado de lado igual a la arista.
En el alzado, ¿se ve la arista con más o con menos alejamiento? La de más alejamiento, porque está más cerca del observador.
El tetraedro (4 caras triangulares), el hexaedro o cubo (6 cuadradas) y el octaedro (8 triangulares) son los de la PAU. Conviene recordar sus relaciones: la diagonal de la cara del cubo es a√2 y la del cubo a√3; la altura del tetraedro de arista a es a√(2/3); el octaedro tiene su sección principal cuadrada.
En cada proyección el contorno aparente siempre se ve. Del resto, se ven las aristas de las caras que miran al observador: en el alzado, las de mayor alejamiento; en la planta, las de mayor cota. Las aristas ocultas se dibujan con trazo discontinuo.