Proporcionalidad

Inversión con un punto doble

Enunciado

Dada la inversión de centro O en la que B es un punto doble, halla la figura inversa del segmento AB (perpendicular a OB en B) y de la circunferencia c.

Resolución paso a paso

  1. Circunferencia de autoinversión. Como B es doble, la potencia es OB²: traza la circunferencia de centro O que pasa por B. Todos sus puntos son dobles. Por qué: Un punto doble cumple OB·OB' = OB², así que la circunferencia de radio OB es la de autoinversión.
  2. Inversa del segmento AB. La recta AB no pasa por O: su inversa es una circunferencia que pasa por O. Como AB es perpendicular a OB en el punto doble B, es la circunferencia de diámetro OB. El inverso de A está en la recta OA, donde esta corta a esa circunferencia (A'). El segmento AB se transforma en el arco A'B de esa circunferencia: remárcalo ya. Por qué: Una recta que no pasa por el centro se transforma en una circunferencia que pasa por él, con el diámetro por O perpendicular a la recta; el pie de esa perpendicular (B, doble) es el otro extremo del diámetro.
  3. Inversa de la circunferencia c. c no pasa por O: su inversa es otra circunferencia. Une O con el centro de c: corta a c en P y Q, los extremos del diámetro alineado con O. Sus inversos P' y Q' serán un diámetro de la circunferencia inversa. Por qué: La recta que une O con el centro es eje de simetría de c y de su inversa, así que los extremos de ese diámetro van a los extremos de un diámetro de la inversa (el centro NO se invierte en el centro). En el triángulo rectángulo OTP, el cateto OT al cuadrado es OP·OP'.
  4. Inverso de P. P es exterior a la circunferencia de autoinversión: la circunferencia de diámetro OP la corta en T, y la perpendicular desde T a OP tiene su pie en P'. Basta un punto de tangencia: no hace falta dibujar las tangentes. Por qué: PT es tangente a la circunferencia de autoinversión (ángulo recto en T, arco capaz de OP), y en el triángulo rectángulo OTP el cateto cumple OT² = OP·OP'.
  5. Inverso de Q. Igual con Q: circunferencia de diámetro OQ, su corte T₂ con la de autoinversión y la perpendicular desde T₂ a OQ, cuyo pie es Q'. La circunferencia de diámetro P'Q' es la inversa de c: remárcala. Por qué: OT₂² = OQ·OQ'.

Resumen del método

Punto doble → circunferencia de autoinversión de radio OB. Una recta que no pasa por O se invierte en una circunferencia por O (aquí la de diámetro OB); una circunferencia que no pasa por O, en otra circunferencia, invirtiendo los extremos de su diámetro alineado con O.

Conceptos

La teoría de este ejercicio

Inversión

La inversión de centro O y potencia k transforma cada punto A en A', alineado con O, de modo que OA · OA' = k. Si k es positiva, los puntos de la circunferencia de centro O y radio √k son dobles. Una recta que no pasa por O se transforma en una circunferencia que sí pasa por O, y al revés. Conserva los ángulos, por eso sirve para resolver tangencias.

Más en la lección Inversión.

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