Aprende · Transformaciones geométricas
La inversión transforma rectas en circunferencias y conserva los ángulos. Con ella se resuelven los problemas de tangencias más difíciles.
Imagina una circunferencia que actúa como un espejo curvo. Un punto que está cerca del centro se va muy lejos, fuera. Y un punto que está muy lejos cae cerca del centro. Y uno justo en la circunferencia se queda donde está. Esa es la inversión, y es una de las transformaciones más curiosas.
OA · OA' = k
Si te dicen que B es un punto doble, ya conoces la circunferencia: es la de centro O que pasa por B, y k = OB².
No hace falta calcular. Se usa el triángulo rectángulo, y sale OP · OP' = OT², por el teorema del cateto.
Si P está dentro, se hace al revés: la perpendicular a OP en P corta a la de autoinversión en T, y la tangente en T lleva a P'.
Regla práctica: lo que pasa por O se convierte en una recta.
Si la recta corta a la de autoinversión en M y N, esos puntos son dobles, y por tanto están en la imagen. Así, la inversa pasa por O, M y N. Ya sabes hacerla: el centro se saca con mediatrices.
Inversa de una recta: Una circunferencia por O, M y N.
Y al revés: una circunferencia por O se convierte en la recta MN.
Inversa de una circunferencia por el centro: La recta MN. D y D' lo comprueban.
Para invertir una circunferencia que no pasa por O, se une O con el centro. La recta corta a la circunferencia en P y Q. Sus inversos, P' y Q', son los extremos de un diámetro de la solución. Basta con invertir esos dos puntos.
Inversión con un punto doble: El segmento y la circunferencia se invierten en arcos y circunferencia.
Cuidado: el centro de la circunferencia inversa no es el inverso del centro. Es un error frecuente.
La inversión conserva los ángulos. Por tanto, dos líneas tangentes siguen siendo tangentes. Eso permite transformar un problema difícil en otro fácil, como convertir dos circunferencias en dos rectas. Se resuelve allí, y se deshace la inversión.
k = 1600 y OA = 20. ¿Cuánto mide OA'? 80.
¿En qué se transforma una recta que no pasa por O? En una circunferencia que pasa por O.
B es doble y OB = 30. ¿Cuánto vale k? 900.
La inversión de centro O y potencia k transforma cada punto A en A', alineado con O, de modo que OA · OA' = k. Si k es positiva, los puntos de la circunferencia de centro O y radio √k son dobles. Una recta que no pasa por O se transforma en una circunferencia que sí pasa por O, y al revés. Conserva los ángulos, por eso sirve para resolver tangencias.
OA · OA' = k