Proporcionalidad

Media proporcional de dos segmentos

Enunciado

Halla la media proporcional x de los segmentos a = 20 mm y b = 45 mm (a / x = x / b).

Resolución paso a paso

1. a y b seguidos. Sobre una recta, lleva a y a continuación b: A–M mide a y M–B mide b. Por qué: El punto M, donde se juntan los dos segmentos, será el pie de la altura de un triángulo rectángulo.
2. Semicircunferencia de diámetro AB. Halla el punto medio O de AB y traza la semicircunferencia de diámetro AB. Por qué: Es el arco capaz de 90° de AB: cualquier punto H de ella forma con A y B un triángulo rectángulo en H.
3. Trazar la perpendicular. Con centro en M, traza un arco que corte la recta base en 1 y 2. Desde 1 y desde 2, con una misma abertura (mayor que la mitad de 12), traza dos arcos que se corten en 3. Une M y 3: es la perpendicular a base por M. Por qué: 1 y 2 quedan a la misma distancia de M: la perpendicular buscada será la mediatriz de 12.
4. La media proporcional. La perpendicular por M corta a la semicircunferencia en H. El segmento MH es la media proporcional x. Por qué: En el triángulo rectángulo AHB, la altura sobre la hipotenusa cumple MH² = AM · MB (teorema de la altura): x² = 20 · 45 = 900, x = 30 mm.

Conceptos

• Teorema de la altura
• Arco capaz de 90°

La teoría de este ejercicio

Media proporcional

La media proporcional de a y b es el segmento x que cumple a / x = x / b, es decir, x = √(a·b). Se obtiene con el teorema de la altura o con el del cateto de un triángulo rectángulo inscrito en una semicircunferencia. También sirve para hallar raíces cuadradas.

Más en la lección Media proporcional.

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