Aprende · Proporcionalidad, equivalencia y escalas

Media proporcional

La media proporcional aparece al buscar raíces cuadradas, al transformar figuras en otras equivalentes y en los problemas de tangencias por potencia.

La idea: el número entre dos números

Busca el número x tal que 4 es a x como x es a 9. Si lo pruebas, verás que x = 6, porque 4/6 = 6/9. A x se le llama media proporcional. Es, en realidad, una raíz cuadrada: x² = 4 · 9 = 36. Y lo mejor es que se puede dibujar sin hacer ni una cuenta.

x² = a · b

La base es este hecho geométrico: un triángulo inscrito en una semicircunferencia es siempre rectángulo. Y en todo triángulo rectángulo se cumplen dos teoremas que convierten este producto en un segmento.

Con el teorema de la altura

La altura sobre la hipotenusa es la media proporcional de los dos trozos en que la divide.

1. Lleva a y b seguidos sobre una recta.
2. Traza la semicircunferencia de diámetro a + b.
3. Por el punto de unión, levanta la perpendicular. Llega hasta la semicircunferencia.
4. Esa altura es x.

Teorema de la altura: Con 20 y 45, la altura mide 30 mm.

Con el teorema del cateto

Un cateto es la media proporcional de la hipotenusa y su proyección sobre ella. Es útil cuando los dos segmentos parten del mismo punto.

1. Lleva a y b desde el mismo extremo A.
2. Traza la semicircunferencia de diámetro a.
3. Por el extremo de b, levanta la perpendicular. Corta en P.
4. La cuerda AP es x.

Teorema del cateto: AP² = 70 · 25, así que x ≈ 41,8 mm.

Raíces cuadradas

Con estos métodos se puede dibujar cualquier raíz: para √n, usa los segmentos n y 1. También hay otra forma muy bonita, con el teorema de Pitágoras: una espiral de triángulos rectángulos, donde cada hipotenusa es el cateto del siguiente, y el otro cateto siempre es la unidad.

Espiral de raíces: √2, √3, √4 y √5, una a una.

Dónde se usa

• Cuadraturas: convertir un rectángulo de lados a y b en un cuadrado de lado √(a·b).
• Tangencias por potencia: la tangente mide √(PA · PB).
• Inversión: el radio de autoinversión es √k.

Errores típicos

• Trazar la semicircunferencia con centro en el punto de unión. Su centro está en la mitad de a + b.
• Tomar la media aritmética. La media de 4 y 9 es 6,5, y la proporcional es 6.
• Usar la semicircunferencia de diámetro a + b en el cateto. Allí, el diámetro es a.
• Tomar la distancia equivocada: en el cateto, la solución es la cuerda, y en la altura, la perpendicular.

Comprueba si lo has entendido

¿Cuál es la media proporcional de 9 y 16? 12.

¿Por qué sirve una semicircunferencia? Porque el ángulo inscrito en ella es recto.

¿Cómo se dibuja √7 con la unidad? Como media proporcional de 7 y 1.

Resumen para repasar

Media proporcional

La media proporcional de a y b es el segmento x que cumple a / x = x / b, es decir, x = √(a·b). Se obtiene con el teorema de la altura o con el del cateto de un triángulo rectángulo inscrito en una semicircunferencia. También sirve para hallar raíces cuadradas.

x² = a · b

1. Teorema de la altura: lleva a y b seguidos sobre una recta y traza la semicircunferencia de diámetro a + b.
2. La perpendicular por el punto donde se unen a y b corta a la semicircunferencia: esa altura es x.
3. Teorema del cateto: lleva b sobre a desde el mismo extremo, semicircunferencia de diámetro a y perpendicular por el extremo de b: la cuerda desde el extremo común es x.

Ejercicios resueltos

• Media proporcional de dos segmentos — Halla la media proporcional x de los segmentos a = 20 mm y b = 45 mm (a / x = x / b).
• Media proporcional por el teorema del cateto — Halla la media proporcional x de los segmentos a = 70 mm y b = 25 mm (x² = a · b) con el teorema del cateto.
• Segmentos √2, √3, √4 y √5 a partir de la unidad — Tomando como unidad u = 20 mm, construye segmentos de longitud u√2, u√3, u√4 y u√5.