Sistema diédrico

Ejes de la sección de un cilindro

Enunciado

Halla la verdadera magnitud de los ejes de la elipse que produce el plano ABCD (paralelo a la línea de tierra) en el cilindro recto dado, y sus proyecciones diédricas.

Resolución paso a paso

  1. Tercera proyección. El plano ABCD es paralelo a la LT: en una vista de perfil se ve de canto. Traza la LT del perfil (vertical) y la recta a 45° que lleva los alejamientos de la planta al perfil. Lleva A y D (alturas del alzado, alejamientos de la planta) y el contorno del cilindro: sus generatrices extremas de perfil están a 20 y 60 de alejamiento. Por qué: Un plano paralelo a la LT es perpendicular al plano de perfil: en la tercera proyección se ve como una recta y sus secciones se leen directamente.
  2. Eje mayor en verdadera magnitud. En el perfil, la recta del plano corta a las generatrices de contorno en M₃ y N₃: M₃N₃ es el eje mayor de la elipse en verdadera magnitud. Por qué: El eje mayor está en el plano de simetría del cilindro perpendicular a las horizontales del plano (aquí, el plano de perfil por el eje), así que en el perfil no se deforma.
  3. Proyecciones de los ejes. M y N están en el plano de perfil que contiene al eje del cilindro: lleva sus alturas al eje del alzado (M₂, N₂) y sus alejamientos a la planta (M₁, N₁). El centro O es el punto medio de MN. El eje menor PQ es horizontal y frontal, por O, y mide el diámetro del cilindro: P₂Q₂ y P₁Q₁ están en verdadera magnitud. Por qué: El eje menor es perpendicular al mayor en el centro y, como es una horizontal del plano paralela a la LT, se ve en verdadera magnitud en planta y en alzado.
  4. Solución. Remarca el eje mayor en verdadera magnitud (M₃N₃) y las proyecciones de los dos ejes. Por qué: El eje menor está en verdadera magnitud en ambas proyecciones; el mayor, solo en el perfil.

Resumen del método

Con el plano de canto en la tercera proyección, el eje mayor es el segmento que cortan las generatrices de contorno (verdadera magnitud); el eje menor es el diámetro del cilindro, horizontal y frontal por el centro.

Conceptos

La teoría de este ejercicio

Secciones planas de sólidos

La sección de un sólido por un plano es el polígono (o la curva) de los puntos donde el plano corta a sus aristas o generatrices. Con un plano proyectante se leen directamente en la proyección donde el plano se ve de canto. La sección y la base son homológicas (pirámide, cono) o afines (prisma, cilindro). Su verdadera magnitud se saca abatiendo el plano o con un cambio de plano.

Las cónicas como secciones del cono

Al cortar un cono de revolución por un plano que no pasa por el vértice se obtiene una cónica. Si el plano corta a todas las generatrices es una elipse (una circunferencia si es perpendicular al eje); si es paralelo a una sola generatriz, una parábola; si es paralelo a dos, una hipérbola. Las esferas de Dandelin, inscritas en el cono y tangentes al plano, lo tocan en los focos.

Verdadera magnitud

Una figura solo se ve en verdadera magnitud (VM) cuando es paralela al plano de proyección. Para medir un segmento o una figura en posición cualquiera hay que llevarla a esa posición con un giro, un abatimiento o un cambio de plano. Atajo para un segmento: el triángulo rectángulo con la proyección horizontal y la diferencia de cotas.

Más en la lección Secciones planas.

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