Sistema diédrico

Sección de un prisma por un plano proyectante

Enunciado

Halla la sección que produce el plano proyectante vertical α en el prisma recto de base cuadrada (lado 40 mm, altura 60 mm) apoyado en el plano horizontal, y su verdadera magnitud.

Resolución paso a paso

1. La sección en proyección vertical. Las aristas verticales del prisma cortan a α₂ en 1'', 2'', 3'' y 4''. Por qué: El plano es proyectante vertical: todo lo que contiene se proyecta sobre α₂.
2. La sección en proyección horizontal. En planta, las aristas verticales se ven como puntos: la sección coincide con el cuadrado de la base, 1'2'3'4'.
3. Abatimiento sobre el plano horizontal. Gira el plano alrededor de α₁ hasta el horizontal: con centro en el punto de la LT común a las trazas, lleva cada punto de α₂ a la LT; desde ahí, baja la perpendicular a la LT hasta la paralela a la LT por la proyección horizontal del mismo punto. Por qué: Al abatir, cada punto conserva su alejamiento y se separa de α₁ tanto como dista de él en el espacio, que es su distancia a N medida sobre α₂.
4. Verdadera magnitud. Une los puntos abatidos: es la sección en verdadera magnitud. En alzado, la sección es el segmento de α₂ entre las aristas extremas, 2'' y 4''.

Conceptos

• Plano de canto: la sección se ve como un segmento sobre α₂
• Abatimiento de un plano de canto alrededor de α₁

La teoría de este ejercicio

Secciones planas de sólidos

La sección de un sólido por un plano es el polígono (o la curva) de los puntos donde el plano corta a sus aristas o generatrices. Con un plano proyectante se leen directamente en la proyección donde el plano se ve de canto. La sección y la base son homológicas (pirámide, cono) o afines (prisma, cilindro). Su verdadera magnitud se saca abatiendo el plano o con un cambio de plano.

Las cónicas como secciones del cono

Al cortar un cono de revolución por un plano que no pasa por el vértice se obtiene una cónica. Si el plano corta a todas las generatrices es una elipse (una circunferencia si es perpendicular al eje); si es paralelo a una sola generatriz, una parábola; si es paralelo a dos, una hipérbola. Las esferas de Dandelin, inscritas en el cono y tangentes al plano, lo tocan en los focos.

Verdadera magnitud

Una figura solo se ve en verdadera magnitud (VM) cuando es paralela al plano de proyección. Para medir un segmento o una figura en posición cualquiera hay que llevarla a esa posición con un giro, un abatimiento o un cambio de plano. Atajo para un segmento: el triángulo rectángulo con la proyección horizontal y la diferencia de cotas.

Más en la lección Secciones planas.

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