Aprende · Proporcionalidad, equivalencia y escalas
La sección áurea divide un segmento en media y extrema razón. Es la clave de las construcciones exactas del pentágono y el decágono.
Parte un palo en dos trozos de manera que el palo entero sea al trozo grande lo que el grande es al pequeño. Solo hay una forma de hacerlo, y esa proporción es un número llamado φ, el número de oro. Lleva siglos usándose en arte y arquitectura, y aparece en las diagonales del pentágono.
φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618
Ese es el nombre clásico: hallar en AB el punto G de la sección áurea. Como es una raíz de 5, se dibuja con un triángulo rectángulo de lados 1 y 2:
Sección áurea de un segmento: AG es la parte mayor. Con 90 mm, mide unos 55,6 mm.
Si AB vale 1, BC vale 1/2. La hipotenusa AC vale √5/2 por Pitágoras. Al quitar 1/2, queda AD = (√5 − 1)/2 ≈ 0,618, que es exactamente 1/φ.
A veces te dan la parte mayor y te piden el segmento entero, de modo que hay que multiplicar por φ. Levanta un cuadrado sobre AB, y desde el punto medio de AB gira la distancia hasta la esquina opuesta. Es muy fácil.
Multiplicar por φ: El arco desde el punto medio prolonga AB hasta E.
Es un rectángulo cuyos lados están en proporción φ. Tiene una propiedad preciosa: si le quitas un cuadrado, el rectángulo que queda vuelve a ser áureo, y se puede seguir para siempre. Si dibujas arcos en esos cuadrados, sale la famosa espiral áurea.
Rectángulo áureo: Se abate la diagonal del medio cuadrado.
Un segmento mide 100 mm. ¿Cuánto mide, aproximadamente, su parte mayor áurea? Unos 61,8 mm.
El lado de un pentágono mide 40 mm. ¿Cuánto mide la diagonal? Unos 64,7 mm.
¿Qué queda al quitar un cuadrado a un rectángulo áureo? Otro rectángulo áureo.
Un punto divide un segmento en media y extrema razón (sección áurea) cuando el segmento entero es a la parte mayor como la mayor a la menor. Esa razón es el número de oro φ. Aparece en el pentágono y el decágono regulares: la diagonal del pentágono es su lado por φ.
φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618