El desarrollo coloca todas las caras de un sólido en un mismo plano, cada una en verdadera magnitud.
Coge una caja de cereales y ábrela por las pestañas hasta dejarla plana. Esa forma plana, con todas las caras juntas y a tamaño real, es su desarrollo. Es la plantilla con la que se fabrican cajas, latas y embudos.
El desarrollo solo se puede dibujar con las medidas reales. Hace falta la verdadera magnitud de cada arista.
Piensa en un cono de cartulina que abres por una generatriz. El borde del sector es la circunferencia de la base desenrollada. Eso nos da el ángulo. Si la base fuese tan grande como una circunferencia de radio g, el sector sería el círculo entero, 360°. Como es más pequeña, el ángulo se reduce en la misma proporción:
Ángulo del sector = 360° · r / g
Por ejemplo, con radio 25 mm y altura 60 mm, la generatriz es √(25² + 60²) = 65 mm, y el ángulo es 360° · 25 / 65, unos 138,5°.
Desarrollo de un cono: Sector de radio 65 mm y ángulo de unos 138,5°.
Una pirámide regular tiene todas las aristas laterales iguales. Por eso, al desarrollarla, todos los vértices de la base caen en un mismo arco con centro en el vértice. Y si está truncada, los de arriba caen en otro arco concéntrico.
Desarrollo de un tronco de pirámide: Dos arcos concéntricos y el lado de la base llevado seis veces.
Es como la etiqueta de una lata cortada en bisel. Cada generatriz tiene una altura distinta. Se divide la circunferencia en partes iguales, se desenrolla y sobre cada línea se lleva su altura. La curva resultante es una sinusoide, con forma de ola.
Desarrollo de un cilindro truncado: La línea de corte se convierte en una sinusoide.
No de verdad. Una esfera no se puede extender sobre un plano sin estirarla o romperla, y por eso los mapas siempre deforman algo. Los prismas, pirámides, cilindros y conos sí se pueden.
Cono de r = 30 mm y g = 60 mm. ¿Qué ángulo tiene el sector? 360° · 30 / 60 = 180°: es medio círculo.
¿Qué anchura tiene el desarrollo de un cilindro de radio 20 mm? 2π · 20, unos 125,7 mm.
¿Por qué en una pirámide regular los vértices de la base caen en un arco? Porque todas las aristas laterales miden lo mismo.
El desarrollo de una superficie es la figura plana que se obtiene al extender todas sus caras sin estirarlas. Hace falta la verdadera magnitud de cada arista: la lateral de un prisma recto es un rectángulo; la de una pirámide, triángulos con la arista lateral en VM; la de un cono recto, un sector de radio la generatriz y ángulo 360°·r/g.
ángulo del sector del cono = 360° · r / g
Una figura solo se ve en verdadera magnitud (VM) cuando es paralela al plano de proyección. Para medir un segmento o una figura en posición cualquiera hay que llevarla a esa posición con un giro, un abatimiento o un cambio de plano. Atajo para un segmento: el triángulo rectángulo con la proyección horizontal y la diferencia de cotas.