Aprende · Transformaciones geométricas
La homología es como la afinidad, pero con los rayos saliendo de un centro. Relaciona una figura con su perspectiva cónica o con su sección en una pirámide.
En la afinidad, los rayos eran paralelos, como los del sol. Ahora imagina una lámpara: los rayos salen de un solo punto. La sombra de un cuadrado en el suelo ahora se puede ver como un trapecio. Eso es una homología. Esa lámpara es el centro O.
Afinidad: rayos paralelos. Homología: rayos que salen de un centro.
Si te fijas, solo cambia el último paso. Antes era una paralela, y ahora es una recta que sale de O.
Triángulo homólogo: Prolonga, une, y corta con el rayo desde O.
Cuadrilátero homólogo: Cada lado y su homólogo se cortan en el eje.
Consejo: al terminar, comprueba que cada lado y su homólogo se cortan en el eje. Es la mejor forma de detectar un error.
Si la recta AB casi no corta al eje, o es casi paralela a OB, el punto sale impreciso. Elige otro vértice ya conocido para apoyarte o traza una recta auxiliar por el punto.
La homología conserva menos que la afinidad. Sigue conservando que una recta es una recta, pero ya no conserva el paralelismo. Por eso, el cuadrado puede pasar a ser un trapecio o un cuadrilátero cualquiera.
Dos rectas paralelas pueden convertirse en rectas que se cortan. ¿Dónde? En un punto que antes estaba en el infinito. La recta límite es la que contiene las imágenes del infinito. Es el horizonte de una foto: las vías del tren son paralelas, pero en la foto se encuentran en esa línea.
Son paralelas al eje. Y tienen una propiedad curiosa: la distancia de RL al eje es igual a la de O a RL'.
Rectas límite: Una paralela por O corta a la homóloga en un punto de la recta límite.
Las rectas límite deciden el resultado. Si una circunferencia no toca a su recta límite, se convierte en una elipse. Si la toca, en una parábola. Y si la corta, en una hipérbola.
Una sección plana de una pirámide o de un cono y su base son homólogas, y el centro es el vértice. Y una figura del suelo y su perspectiva cónica también son homólogas, con el eje en la línea de tierra.
¿Se conserva el paralelismo en una homología? No, en general.
¿Cómo son las rectas límite respecto al eje? Paralelas.
Una circunferencia corta a su recta límite. ¿Qué curva sale? Una hipérbola.
Una homología queda definida por el centro O, el eje e y un par de puntos homólogos A y A'. Cada punto y su homólogo están alineados con O; una recta y su homóloga se cortan en el eje. Las rectas límite son las que se transforman en rectas del infinito. Relaciona una sección plana de una pirámide o un cono con su base y la perspectiva cónica con la figura real.
En el examen. Comprueba al final que cada lado y su homólogo se cortan en el eje.