Trazados fundamentales
Bisectriz de un ángulo de vértice inaccesible
Enunciado
Traza la bisectriz del ángulo que forman las rectas r y s, cuyo vértice queda fuera del papel.
Resolución paso a paso
- Una recta transversal. Traza una recta cualquiera que corte a r en A y a s en B. Con el vértice inaccesible V forma un triángulo ABV.
- Bisectrices interiores en A y B. Traza las bisectrices de los ángulos del triángulo en A y en B: se cortan en P, el incentro del triángulo ABV. Por qué: Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto, así que la bisectriz de V también pasa por P.
- Bisectrices exteriores en A y B. Por A y por B, traza las perpendiculares a esas bisectrices (las bisectrices de los ángulos exteriores): se cortan en Q. Por qué: Q es el exincentro opuesto a V, que también está en la bisectriz del ángulo V.
- La bisectriz. La recta PQ es la bisectriz del ángulo que forman r y s.
Conceptos
- Incentro y exincentro de un triángulo están en la bisectriz
- Bisectrices interiores y exteriores son perpendiculares
La teoría de este ejercicio
Mediatriz de un segmento
La mediatriz de AB es la recta perpendicular a AB por su punto medio. Es el lugar geométrico de los puntos que están a la misma distancia de A y de B.
Bisectriz de un ángulo
La bisectriz divide un ángulo en dos iguales. Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los dos lados del ángulo, por eso los centros de las circunferencias tangentes a dos rectas están en ella.
Lugares geométricos
Un lugar geométrico es el conjunto de puntos que cumplen una condición. Cuando un punto tiene que cumplir dos condiciones, se dibuja el lugar de cada una y el punto está donde se cortan. Es la herramienta con la que se resuelven casi todos los problemas de triángulos y tangencias.
Más en la lección Mediatriz, bisectriz y lugares geométricos.
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