Tangencias

Rectas tangentes interiores a dos circunferencias

Enunciado

Traza las rectas tangentes interiores a las circunferencias c₁ y c₂.

Resolución paso a paso

  1. Circunferencia de radio suma. Con centro en O₁, traza la circunferencia auxiliar de radio 25 + 15 = 40 mm. Por qué: Si a c₁ se le suma el radio de c₂ y c₂ se reduce a su centro, cada tangente interior se desplaza 15 mm, paralela a sí misma, hasta pasar por O₂ y ser tangente a la auxiliar.
  2. Trazar las tangentes. Une O₂ con el centro O₁ y halla el punto medio M de O₂O₁ con su mediatriz. Con centro en M y radio MO₁, traza un arco que corte a la circunferencia dada en T₁ y T₂. Une O₂ con T₁ y con T₂: son las dos rectas tangentes. Por qué: Necesitamos la circunferencia de diámetro O₂O₁ (arco capaz de 90°).
  3. Puntos de tangencia en c₁. Los radios O₁T₁ y O₁T₂ de la auxiliar cortan a c₁ en los puntos de tangencia A y B.
  4. Puntos de tangencia en c₂. Por O₂, traza las paralelas a O₁T₁ y a O₁T₂; cortan a c₂, del lado de c₁, en los puntos de tangencia A' y B'. Por qué: En una tangente interior los dos radios de tangencia son paralelos y de sentidos contrarios.
  5. Las dos tangentes interiores. Une A con A' y B con B': son las tangentes interiores, que se cruzan entre las dos circunferencias.

Conceptos

La teoría de este ejercicio

Propiedades de las tangencias

Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia. Si dos circunferencias son tangentes, el punto de tangencia está alineado con los dos centros, y la distancia entre centros es la suma de los radios (tangentes exteriores) o su diferencia (interiores). Todo punto de tangencia se construye con estas dos reglas, nunca a ojo.

Tangentes desde un punto exterior

Desde un punto exterior P se pueden trazar dos tangentes a una circunferencia de centro O. Los puntos de tangencia forman un ángulo recto con P y O, así que están en la circunferencia de diámetro PO (arco capaz de 90°).

Tangentes comunes a dos circunferencias

Las tangentes exteriores dejan las dos circunferencias al mismo lado; las interiores las separan. Se hallan reduciendo la pequeña a su centro: tangentes desde O₂ a una circunferencia auxiliar de centro O₁ y radio r₁ − r₂ (exteriores) o r₁ + r₂ (interiores). Después se trasladan paralelas a la distancia r₂.

Más en la lección Rectas tangentes.

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